Desigualtat de Hilbert
En anàlisi matemàtica, una branca de les matemàtiques, la desigualtat de Hilbert afirma que
per a qualsevol seqüència u1,u₂,... de nombres complexos. El primer en demostar-ho va ser el matemàtic alemany David Hilbert, amb la constant 2 en lloc de ; la constant que va trobar Issai Schur. Implica que la transformada discreta de Hilbert és un operador delimitat en ℓ₂.
Formulació
[modifica]Fem que (um) sigui una seqüència de nombres complexos. Si la seqüència és infinita, suposem que és sumable al quadrat:
La desigualtat de Hilbert (vegeu Steele, 2004)[1] afirma que:
Generalitzacions
[modifica]El 1973, Montgomery i Vaughan va informar de diverses generalitzacions de la desigualtat de Hilbert,[2] tenint en compte les formes bilineals:
i
on x1,x₂,...,xm són diferents nombres reals mòdul 1 (és a dir, pertanyen a classes diferents del grup quocient R/Z) i λ1,...,λm són nombres reals diferents. Montgomery & Vaughan's van donar les següents generalitzacions de la desigualtat de Hilbert
i
on
és la distància de s al nombre enter més proper, i min+ denota el valor positiu més petit. A més, si
aleshores es mantenen les següents desigualtats:
i
Referències
[modifica]- ↑ Steele, J. Michael. «cap 10. Hilbert’s Inequality and Compensating Difficulties». A: The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities ( PDF) (en anglès). Cambridge University Press, 2004, p. 155–165. ISBN 0-521-54677-X.
- ↑ Montgomery, H. L; Vaughan, R. C «Hilbert's inequality» (en anglès). J. London Math. Soc., 8, 1974, pàg. 73–82. ISSN: 0024-6107.
Enllaços externs
[modifica]- Godunova, E.K. «Hilbert inequality». A: Encyclopedia of Mathematics (en anglès). EMS Press, (2001) [1994].