Desigualtat de Jackson

En la teoria d'aproximació, la desigualtat de Jackson és una desigualtat que limita el valor de la millor aproximació de la funció per polinomis algebraics o polinomis trigonomètrics en termes del mòdul de continuïtat o mòdul de suavitat de la funció o de les seves derivades. En termes informals, com més suau és la funció, millor es pot aproximar amb polinomis.

Declaració: polinomis trigonomètrics

Per als polinomis trigonomètrics, el següent va ser demostrat per Dunham Jackson:

• Teorema 1: Si $f:[0,2\pi ]\to \mathbb {C}$ és una $r$ vegades diferenciable la funció periòdica tal que

$|f^{(r)}(x)|\leq 1,\quad 0\leq x\leq 2\pi ,$

llavors, per a cada enter positiur $n$, existeix un polinomi trigonomètric $T_{n-1}$ de grau $n-1$, com a màxim, de tal manera que

$|f(x)-T_{n-1}(x)|\leq {\frac {C(r)}{n^{r}}},\quad 0\leq x\leq 2\pi ,$

on $C(r)$ depèn només de $r$.

El teorema Akhiezer-Krein-Favard dona el fort valor de $C(r)$ (anomenada la constant d'Akhiezer–Krein–Favard):

$C(r)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k(r+1)}}{(2k+1)^{r+1}}}~.$

Jackson també va demostrar la següent generalització del teorema 1:

• Teorema 2: Denoteu per $\omega (\delta ,f^{(r)})$ el mòdul de continuïtat de la $r$-derivada de $f$ amb un interval $\delta$. Aleshores es pot trobar un polinomi trigonomètric $T_{n}$ de grau $\leq n$ de tal manera que

$|f(x)-T_{n}(x)|\leq {\frac {C_{1}(r)\omega (1/n,f^{(r)})}{n^{r}}},\quad 0\leq x\leq 2\pi .$

Un resultat encara més general de quatre autors es pot formular com el següent teorema de Jackson.

• Teorema 3: Per a cada nombre natural $n$, si $f$ és una funció contínua $2\pi$-periòdica, llavors existeix un polinomi trigonomètric $T_{n}$ de grau $\leq n$ de tal manera que

$|f(x)-T_{n}(x)|\leq c(k)\omega _{k}\left({\frac {1}{n}},f\right),\quad x\in [0,2\pi ],$

on la constnat $c(k)$ depend de $k\in \mathbb {N}$,i $\omega _{k}$ és el mòdul de suavitat d'ordre $k$.

Per a $k=1$, aquest resultat va ser demostrat per Dunham Jackson. Antoni Zygmund va demostrar la desigualtat en el cas quan $k=2,\omega _{2}(t,f)\leq ct,t>0$ en 1945. Naum Akhiezer va demostrar la desigualtat en el cas quan $k=2$ en 1956. Per a $k>2$, el resultat va ser demostrat per Sergey Stechkin en 1967.

Altres observacions

Les generalitzacions i les extensions s'anomenen teoremes de tipus Jackson. Una conversió amb la desigualtat de Jackson és donada pel teorema de Bernstein. Vegeu també la teoria constructiva de la funció.

Enllaços externs

• Korneichuk, N.P.; Motornyi, V.P. (2001) [1994], "Jackson inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W., «Jackson's Theorem» a MathWorld (en anglès).