La desigualtat de Laguerre–Samuelson dona fites per a les arrels de polinomis que tenen totes les arrels reals. En concret, la desigualtat s'enuncia per a polinomis mònics de grau n ≥ 2 tals que les seves n arrels x1,...,xn són nombres reals (el nombre d'arrels comptades amb multiplicitat és n pel teorema fonamental de l'àlgebra, però podrien ser qualsevol nombre complex). Donat un polinomi
![{\displaystyle P(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94309a36b83f697811a311f2a486636fb791f057)
si totes les arrels són reals, aleshores qualsevol arrel xi compleix que
![{\displaystyle \left|x_{i}+{\frac {a_{n-1}}{n}}\right|\leq \left|{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {a_{n-1}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}a_{n-2}}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbcfc66fa15867fe8dda5fb392e54196fd75abd0)
Això es pot reescriure per a fitar xi entre dos valors, i s'obté un interval que conté totes les arrels:
![{\displaystyle -{\frac {a_{n-1}}{n}}-{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {a_{n-1}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}a_{n-2}}}\leq x_{i}\leq -{\frac {a_{n-1}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {a_{n-1}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}a_{n-2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c01d235a3d64ec52e82dc9e47dcbc11ac1f7404)
Aquest resultat fou demostrat per primera vegada pel matemàtic Edmond Laguerre el 1880. Les fites establertes depenen dels coeficients an-1, an-2 i del grau del polinomi n. Si el polinomi no és mònic, només cal dividir-lo entre an per fer-lo mònic i obtenir la desigualtat corresponent.
L'economista Paul Samuelson arribà a un resultat equivalent el 1968, però enunciat en termes estadístics. Samuelson dona fites pels valors d'una mostra x1,...,xn ∈ ℝ a partir de la mitjana aritmètica x̄, la desviació tipus σ i la mida mostral n. L'enunciat de Samuelson estableix que, per a qualsevol i = 1,...,n,
![{\displaystyle \left|x_{i}-{\overline {x}}\right|\leq \left|\sigma {\sqrt {n-1}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052bae3a9df00e60a4974d08a8987d7dc75e5618)
o bé, reescrivint-ho,
![{\displaystyle {\overline {x}}-\sigma {\sqrt {n-1}}\leq x_{i}\leq {\overline {x}}+\sigma {\sqrt {n-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e997501b30e772af0cc8bb22b26ca3ca2aa603)
a on, per definició,
![{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\qquad {\text{i}}\qquad \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64f644d7be2ee9087e48f2fdf47c8c5112b2487)
Tant en l'enunciat de Laguerre com en el de Samuelson s'estableix un interval que ha de contenir els n valors donats. L'interval està centrat, en el primer cas, en −an-1/n, que es pot veure que és la mitjana de les arrels, i en el segon cas directament en x̄. Aquest interval és la millor fita possible pels valors xi si només es coneix an-1, an-2 i n (o bé x̄, σ i n), ja que es poden posar exemples en què s'assoleix la igualtat.
Expressions per als coeficients del polinomi[modifica]
La factorització d'un polinomi mònic P(x) amb arrels x1,...,xn ∈ ℝ és
![{\displaystyle P(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})=(x-x_{1})\dotsm (x-x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7a82215a498f98dbc5a219feca8aa3391a4eed)
Desenvolupant aquest producte pels termes de grau més gran s'obté que
![{\displaystyle P(x)=x^{n}+\left(-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)x^{n-1}+\left(\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\right)x^{n-2}+\dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8be326b55e62866ed03ea10433a459e691d9c70)
i així ja es poden expressar els coeficients an-1 i an-2 en funció de les arrels:
![{\displaystyle a_{n-1}=-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\qquad {\text{i}}\qquad a_{n-2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113953c149361deadc1a60d78b72c26634002615)
Equivalència dels enunciats[modifica]
L'equivalència entre els enunciats de Laguerre i Samuelson s'obté considerant com a mostra x1,...,xn ∈ ℝ les arrels d'un polinomi P(x), o viceversa.
Relació entre els paràmetres[modifica]
D'una banda,
![{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}=-{\frac {a_{n-1}}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063b5ce77c2f0400418d08fd540cefab1fb5e818)
De l'altra, fent servir la igualtat anterior i la identitat
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+{\underset {1\leq i<j\leq n\ \ \ \ }{2\ \sum \ x_{i}x_{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af716786842c2f54334e6ffc438124c931a7fb9)
es pot desenvolupar
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}&=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}-2{\overline {x}}x_{i}+{\overline {x}}^{2})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-2n{\overline {x}}^{2}+n{\overline {x}}^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}-{\underset {1\leq i<j\leq n\ \ \ \ }{2\ \sum \ x_{i}x_{j}}}-n{\overline {x}}^{2}=a_{n-1}^{2}-2a_{n-2}-{\frac {1}{n}}a_{n-1}^{2}\\&={\frac {n-1}{n}}a_{n-1}^{2}-2a_{n-2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0774f2cf3ffc37d5e2aec8ff2020392f293ae3)
i per tant
![{\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}={\sqrt {{\frac {n-1}{n^{2}}}a_{n-1}^{2}-{\frac {2a_{n-2}}{n}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5ff8412cdeaae44c5fffa339625947dbe8061a)
Així, ja tenim la relació entre els estadístics x̄ i σ i els coeficients an-1 i an-2, mentre que el grau n del polinomi és igual a la mida n de la mostra.
Equivalència de les desigualtats[modifica]
Partint de la desigualtat enunciada per Samuelson,
![{\displaystyle \left|x_{i}-{\overline {x}}\right|\leq \left|\sigma {\sqrt {n-1}}\right|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d773e89396e27de6a9c1b38d32aef7ca1e66e53)
i substituint x̄ i σ per les expressions trobades a la subsecció anterior, s'obté
![{\displaystyle \left|x_{i}+{\frac {a_{n-1}}{n}}\right|\leq \left|{\sqrt {{\frac {n-1}{n^{2}}}a_{n-1}^{2}-{\frac {2a_{n-2}}{n}}}}{\sqrt {n-1}}\right|=\left|{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {a_{n-1}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}a_{n-2}}}\right|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5005fb89ed7c9973462dbef430cc1c05f5f602)
i aquesta és la desigualtat enunciada per Laguerre.
Per a demostrar que la desigualtat és vàlida per a qualsevol arrel xi de P(x), n'hi ha prou en veure-ho per a xn, ja que no hem suposat cap ordre per a les arrels. Cal veure, doncs, que
![{\displaystyle \left|x_{n}+{\frac {a_{n-1}}{n}}\right|\leq \left|{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {a_{n-1}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}a_{n-2}}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b13761313cec1a57e5a0f7dc3d9cfbb405211fb)
Substituint an-1 i an-2 per les seves expressions en termes de les arrels, això és que
![{\displaystyle \left|x_{n}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right|\leq \left|{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0267375f918754f8f1bbd70303c12ea44a44d9)
Es pot desenvolupar
![{\displaystyle \sum _{i<j}x_{i}x_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i<j}\left[x_{i}^{2}+x_{j}^{2}-(x_{i}-x_{j})^{2}\right]={\frac {n-1}{2}}\sum _{i}x_{i}^{2}\,-\,{\frac {1}{2}}\sum _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c128baf79d1200bed38e0b0ceb61e67235e79947)
i per tant també
![{\displaystyle \left(\sum _{i}x_{i}\right)^{2}=\sum _{i}x_{i}^{2}+\sum _{i<j}2x_{i}x_{j}=n\sum _{i}x_{i}^{2}-\sum _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba80161c427282d92c7868c44a09d363a077b556)
havent pres i, j ∈ {1,...,n}. Substituint a la desigualtat, s'obté
![{\displaystyle \left|x_{n}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right|\leq \left|{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {n\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\frac {n-1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\,-\,{\frac {1}{2}}\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})^{2}\right)}}\right|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd6deee30ce64d8f7448a49c619311985400958)
i simplificant,
![{\displaystyle \left|x_{n}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right|\leq \left|{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})^{2}}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1888935b9ebcf975c10a80e19335ad67a7544c8c)
Com que els dos costats són quantitats positives, es poden elevar al quadrat i s'obté una desigualtat equivalent:
![{\displaystyle \left(x_{n}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)^{2}\leq {\frac {n-1}{n^{2}}}\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62feb1911317a3e0a41f486cc6ae168fca709a0)
Ara, desenvolupant el quadrat,
![{\displaystyle x_{n}^{2}-{\frac {2x_{n}}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+{\frac {1}{n^{2}}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}\leq {\frac {n-1}{n^{2}}}\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad2ef175b00e7941f4a4cb236f41b75ab324d25)
i substituint com abans,
![{\displaystyle x_{n}^{2}-{\frac {2x_{n}}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+{\frac {1}{n^{2}}}\left(n\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})^{2}\right)\leq {\frac {n-1}{n^{2}}}\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714abd6ad4655e166895acaa77da9c88ba36791a)
que simplificant queda
![{\displaystyle x_{n}^{2}-{\frac {2x_{n}}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c0c118137f367062686f645ac1aa5815d17836)
Si se separen els termes amb xn s'obté
![{\displaystyle x_{n}^{2}-{\frac {2x_{n}}{n}}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}-{\frac {2x_{n}^{2}}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}^{2}+{\frac {x_{n}^{2}}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{1\leq i<j\leq n-1}(x_{i}-x_{j})^{2}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ceddce7facf4958fac7ec19de873697e621e9c)
se segueix
![{\displaystyle {\frac {n-1}{n}}x_{n}^{2}-{\frac {2x_{n}}{n}}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}^{2}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{1\leq i<j\leq n-1}(x_{i}-x_{j})^{2}+{\frac {n-1}{n}}x_{n}^{2}-{\frac {2x_{n}}{n}}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8385a634b1cd3bf0e476650e1624438cc15aba9)
i cancel·lant termes,
![{\displaystyle 0\leq {\frac {1}{n}}\sum _{1\leq i<j\leq n-1}(x_{i}-x_{j})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5707769e8130617a2f59cc1facd098415d266d)
S'ha obtingut, finalment, una desigualtat que és equivalent a l'inicial (una es compleix si i només si es compleix l'altra) i que és clarament certa, ja que els termes de la dreta, en ser quadrats, mai poden ser negatius. Això conclou la demostració.
Casos d'igualtat[modifica]
La igualtat s'assoleix quan hi ha n−1 valors iguals i un de diferent. Quan el valor que va sol és el més petit s'assoleix la fita inferior, i quan és el més gran, la superior.
Efectivament, si x1 = ... = xn-1, llavors
![{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {nx_{1}-x_{1}+x_{n}}{n}}\qquad {\text{i}}\qquad \sigma ={\sqrt {(n-1)}}{\frac {|x_{n}-x_{1}|}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab012fc15cd2562b0788615b5c8fc65f8131cd8)
les fites per a xi són
![{\displaystyle {\begin{cases}x_{n}\leq x_{i}\leq x_{1}+{\frac {n-2}{n}}(x_{1}-x_{n})&\quad {\text{si}}\quad x_{n}\leq x_{1},\\x_{1}-{\frac {n-2}{n}}(x_{n}-x_{1})\leq x_{i}\leq x_{n}&\quad {\text{si}}\quad x_{n}\geq x_{1},\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e41ff672039ea597a49452c3fa46ba97e49de97)
i aquestes fites s'assoleixen per xn.
Recíprocament, si s'assoleix la igualtat per a una arrel, la resta d'arrels han de ser iguals entre elles. Això es pot veure seguint els mateixos passos que a la secció «Demostració»: si es compleix la igualtat aleshores s'ha de complir que
![{\displaystyle 0={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq i<j\leq n-1}(x_{i}-x_{j})^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b8fb7f80da4b89b790d651dad1c7ee134deee8)
i per tant, per a qualssevol i i j menors que n, xi = xj.
En el cas particular n = 2 l'interval té d'extrems les solucions de la fórmula de l'equació de segon grau, així que les fites sempre són exactes.