Desigualtat de Landau-Kolmogorov

En matemàtiques, la desigualtat de Landau-Kolmogorov, anomenada així pels matemàtics Edmund Landau i Andrey Kolmogorov, és la següent família de desigualtats d'interpolació entre diferents derivades d'una funció f definida en un subconjunt T dels nombres reals:^[1]

\|f^{(k)}\|_{L_{\infty }(T)}\leq C(n,k,T){\|f\|_{L_{\infty }(T)}}^{1-k/n}{\|f^{(n)}\|_{L_{\infty }(T)}}^{k/n}{\text{ per a }}1\leq k<n.

En l'eix real

Per a k = 1, n = 2, T=R la desigualtat va ser provada per primera vegada per Edmund Landau^[2] amb la constant aguda C(2, 1, R) = 2. Després de les contribucions de Jacques Hadamard i Georgiy Shilov, Andrey Kolmogorov va trobar constants i arbitràries n, k:^[3]

C(n,k,\mathbb {R} )=a_{n-k}a_{n}^{-1+k/n}~,

on a_n és la constant de Favard.

En el semieix

Després del treball de Matorin et al, les funcions extremistes van ser trobades per Isaac Schoenberg,^[4] tanmateix, encara es desconeixen formes explícites per a les constants agudes.

Generalitzacions

Hi ha moltes generalitzacions, que són de la forma

\|f^{(k)}\|_{L_{q}(T)}\leq K\cdot {\|f\|_{L_{p}(T)}^{\alpha }}\cdot {\|f^{(n)}\|_{L_{r}(T)}^{1-\alpha }}{\text{ per a }}1\leq k<n.

Aquí les tres normes poden ser diferents entre elles (de L₁ fins a L_∞, amb p=q=r=∞ en el cas clàssic) i T pot ser l'eix real, semi-eix o un segment tancat.

La desigualtat de Kallman-Rota generalitza les desigualtats de Landau-Kolmogorov des de l'operador derivat fins a contraccions més generals en els espais de Banach.^[5]

Referències

↑ Weisstein, E.W. «Landau-Kolmogorov Constants». MathWorld--A Wolfram Web Resource.
↑ Landau, E. «Ungleichungen für zweimal differenzierbare Funktionen». Proc. London Math. Soc., 13, 1913, pàg. 43–49. DOI: 10.1112/plms/s2-13.1.43.
↑ Kolmogorov, A. «On Inequalities Between the Upper Bounds of the Successive Derivatives of an Arbitrary Function on an Infinite Integral». Amer. Math. Soc. Transl., 1962, pàg. 233–243.
↑ Schoenberg, I.J. «The Elementary Case of Landau's Problem of Inequalities Between Derivatives.». Amer. Math. Monthly, 80, 1973, pàg. 121–158. DOI: 10.2307/2318373.
↑ Kallman, Robert R.; Rota, Gian-Carlo. Inequalities, II (Proc. Second Sympos., U.S. Air Force Acad., Colo., 1967). Nova York: Academic Press, 1970, p. 187–192. «On the inequality $\Vert f^{\prime }\Vert ^{2}\leqq 4\Vert f\Vert \cdot \Vert f''\Vert$ »

[1] Weisstein, E.W. «Landau-Kolmogorov Constants». MathWorld--A Wolfram Web Resource.

[2] Landau, E. «Ungleichungen für zweimal differenzierbare Funktionen». Proc. London Math. Soc., 13, 1913, pàg. 43–49. DOI: 10.1112/plms/s2-13.1.43.

[3] Kolmogorov, A. «On Inequalities Between the Upper Bounds of the Successive Derivatives of an Arbitrary Function on an Infinite Integral». Amer. Math. Soc. Transl., 1962, pàg. 233–243.

[4] Schoenberg, I.J. «The Elementary Case of Landau's Problem of Inequalities Between Derivatives.». Amer. Math. Monthly, 80, 1973, pàg. 121–158. DOI: 10.2307/2318373.

[5] Kallman, Robert R.; Rota, Gian-Carlo. Inequalities, II (Proc. Second Sympos., U.S. Air Force Acad., Colo., 1967). Nova York: Academic Press, 1970, p. 187–192. «On the inequality $\Vert f^{\prime }\Vert ^{2}\leqq 4\Vert f\Vert \cdot \Vert f''\Vert$ »

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]