Desigualtat de Màrkov

La desigualtat de Màrkov en teoria de probabilitat proporciona una fita superior per a la probabilitat que una funció no negativa d'una variable aleatòria sigui major o igual que una constant positiva. El seu nom li ve del matemàtic rus Andrei Màrkov. La desigualtat de Màrkov relaciona les probabilitats amb l'esperança matemàtica i proporciona cotes útils-encara que habitualment poc ajustades-per a la funció de distribució d'una variable aleatòria.

Teorema

La desigualtat de Màrkov afirma que si X és una variable aleatòria qualsevol i a > 0, llavors

${\textrm {Pr}}(|X|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {E}}(|X|)}{a}}.$

Prova

Per a qualsevol succés A, sigui I_A la variable aleatòria indicadora d'A, és a dir, I_A = 1 si ocorre A i és 0 en el cas contrari. Llavors

$aI_{(X\geq a)}\leq X.\,$

Per tant

$\operatorname {E} (aI_{(|X|\geq a)})\leq \operatorname {E} (|X|).\,$

Ara, noti's que el costat esquerre d'aquesta desigualtat coincideix amb

$a\operatorname {E} (I_{(|X|\geq a)})=a\Pr(|X|\geq a).\,$

Per tant tenim

$a\Pr(|X|\geq a)\leq \operatorname {E} (|X|)\,$

i com a > 0, es poden dividir dos costats entre a.

Prova alternativa

Una prova més formal, relacionada amb l'anàlisi real, és la següent:

$\Pr(|X|\geq a)=\int _{a}^{\infty }{f(x)dx}\leq \int _{a}^{\infty }{{\frac {|x|}{a}}f(x)dx}\leq {\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }{|x|f(x)dx}={\frac {\operatorname {E} (|X|)}{a}}$

A la introducció de ${\frac {|x|}{a}}$, noti's que, ja que estem considerant la variable aleatòria només en els seus valors iguals o majors a $a$, $|X|\geq a$ i, per tant, ${\frac {|X|}{a}}\geq 1$, de manera que en multiplicar $f(x)dx$ per alguna cosa més gran a un serà igual o més gran. La segona desigualtat ve d'afegir la suma $\int _{-\infty }^{a}{|x|f(x)dx}$, que sempre serà positiva ja que s'integra una cosa positiva com és el valor absolut (per: $f(x)$ que és positiva).

• La desigualtat de Màrkov s'utilitza per provar la desigualtat de Chebyshev.