Desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica

En matemàtiques, es coneix com a desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica aquella desigualtat que estableix que la mitjana aritmètica d'un conjunt de nombres reals positius és major o igual que la mitjana geomètrica del mateix conjunt.

Mitjana aritmètica i mitjana geomètrica

La mitjana aritmètica d'un conjunt ${x_{1},x_{,}\cdots ,n}\in \mathbb {R} ^{+}$, és igual a la suma dividida pel nombre total d'elements,

${\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}}{n}}$

La mitjana geomètrica d'un conjunt ${x_{1},x_{,}\cdots ,n}\in \mathbb {R} ^{+}$, és igual a l'arrel n-éssima del producte de tots ells.

${\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}$

La desigualtat

Siga

${x_{1},x_{,}\cdots ,n}\in \mathbb {R} ^{+}$,

${\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}$

Es compleix la igualtat si i només si

${x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$

${\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}$

O sigui, només són iguals la mitjana aritmètica i la mitjana geomètrica d'un conjunt de nombres positius si tots els nombres són iguals.

Demostració per inducció

Per a demostrar la desigualtat MA-MG, es desenvolupara pel mètode d'inducció matemàtica, demostrant que la MA-MG és certa per a 2 elements, després generalitzant-lo per a 2n elements i demostrant que si certa per a n és certa per a n+1 elements.

Siga ${x_{1},x_{,}\cdots ,n}\in \mathbb {R} ^{+}$, un conjunt de n elements,

Procedim a considerar el primer cas en què n=2

${\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{x_{1}x_{2}}}$

${\frac {(x_{1}+x_{2})^{2}}{4}}\geq x_{1}x_{2}$

$(x_{1}+x_{2})^{2}\geq 4x_{1}x_{2}$

$x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 4x_{1}x_{2}$

$x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 0$

$(x_{1}-x_{2})^{2}\geq 0$

Quedant així demostrat per a n=2, després es demostra que si és certa per a n=2 és certa per a 2n elements.

${\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{2n}}{2n}}\geq {\sqrt[{2n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2n}}}$

${\frac {{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n+1})}{n}}+{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n+1})}{n}}{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}}$

Seguint la hipòtesi,

${\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}$

Se seguix que,

${\frac {{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n+1})}{n}}+{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{{\sqrt[{n}]{(x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1})}}{\sqrt[{n}]{(x_{n+1}x_{n+2}\cdots x_{2n})}}}}$

Sent açò igual a,

${\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{2n}}{2n}}\geq {\sqrt[{2n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2n}}}$

Quedant així demostrat que si és cert per a 2 elements és cert per a 2n elements.

Ara procedim a demostrar que si és certa per a n elements és certa per a n-1 elements,

Sea ${x_{1},x_{,}\cdots ,{n-1}}\in \mathbb {R} ^{+}$ y ${\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}$

Es considera la desigualtat de tots els elements esmentats,

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots x_{n-1}+{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}$

${\frac {(n-1)x_{1}+(n-1)x_{2}+\cdots +(n-1)x_{n-1}+x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{(n-1)n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}$

${\frac {nx_{1}+nx_{2}+\cdots +nx_{n-1}}{(n-1)n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}$

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}$

$({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})^{\frac {n-1}{n}}\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})^{\frac {1}{n}}$

$({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})^{\frac {n-1}{1}}\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})$

Fent arrel (n-1)-èsima se seguix,

$({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})^{\frac {1}{^{n}-1}}$

Quedant així demostrat pel mètode inductiu, la veracitat de la desigualtat MA-MG.

${\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}},\forall n\in \mathbb {N}$ Q.E.D.

Vegeu també

• Inequació