Desigualtat de Turán

En matemàtiques, les desigualtats de Turán són algunes desigualtats per als polinomis de Legendre trobats per Turán (1950) (i publicats per primera vegada per Szegö (1948).

Si P_n és el n-èsim polinomi de Legendre, les desigualtats de Turán són:

$\,\!P_{n}(x)^{2}>P_{n-1}(x)P_{n+1}(x){\text{ per a }}-1<x<1.$

Hi ha moltes generalitzacions a altres polinomis, sovint anomenades desigualtats de Turán, donats per Beckenbach i Seidel (1951).

Si H_n és el n-èsim polinomi d'Hermite, les desigualtats de Turán són:

$H_{n}(x)^{2}-H_{n-1}(x)H_{n+1}(x)=(n-1)!\cdot \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}H_{i}(x)^{2}>0~,$

Si T_n és el n-èsim polinomi de Txebixov, les desigualtats de Turán són:

$T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^{2}>0{\text{ per a }}-1<x<1~.$

Vegeu també

• Desigualtat d'Askey-Gasper
• Teorema de Sturm