Desigualtat d'Askey-Gasper

En matemàtiques, la desigualtat d'Askey-Gasper és una desigualtat per als polinomis de Jacobi demostrada per Askey i Gasper (1976)^[1] i utilitzada en la prova de la conjectura de Bieberbach.

Definició

Indica que si $β \geq 0, α + β \geq -2$ , i $-1 \leq x \leq 1$ llavors

\sum _{k=0}^{n}{\frac {P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{P_{k}^{(\beta ,\alpha )}(1)}}\geq 0

on

P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)

El cas quan $β = 0$ també es pot escriure com

{}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)>0,\qquad 0\leq t<1,\quad \alpha >-1.

En aquesta forma, amb $α$ com un nombre enter no-negatiu, Louis de Branges va utilitzar la desigualtat en la seva prova de la conjectura de Bieberbach.

Ekhad (1993)^[2] va donar una petita prova d'aquesta desigualtat, combinant la identitat

{\begin{aligned}{\frac {(\alpha +2)_{n}}{n!}}&\times {}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)=\\&={\frac {\left({\tfrac {1}{2}}\right)_{j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+1\right)_{n-j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-2j}(\alpha +1)_{n-2j}}{j!\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {1}{2}}\right)_{n-2j}(n-2j)!}}\times {}_{3}F_{2}\left(-n+2j,n-2j+\alpha +1,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +2),\alpha +1;t\right)\end{aligned}}

Gasper & Rahman (2004)^[3] dona algunes generalitzacions de la desigualtat d'Askey-Gasper a sèries hipergeomètriques bàsiques.

↑ Askey, Richard; Gasper, George «Positive Jacobi polynomial sums. II» (en anglès). American Journal of Mathematics, 98(3), 1976, pàg. 709–737. DOI: 10.2307/2373813. ISSN: 0002-9327. JSTOR: 2373813.
↑ Ekhad, Shalosh B. «A short, elementary, and easy, WZ proof of the Askey-Gasper inequality that was used by de Branges in his proof of the Bieberbach conjecture» (en anglès). Theoretical Computer Science, 117(1), 1993, pàg. 199–202. DOI: 10.1016/0304-3975(93)90313-I. ISSN: 0304-3975.
↑ Gasper, George; Rahman, Mizan. Cambridge University Press. Basic hypergeometric series (en anglès). 96, 2004 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). DOI 10.2277/0521833574. ISBN 978-0-521-83357-8.

Askey, Richard; Gasper, George. «Inequalities for polynomials». A: American Mathematical Society. The Bieberbach conjecture (West Lafayette, Ind., 1985) (en anglès). 21, 1986, p. 7–32 (Math. Surveys Monogr.). ISBN 978-0-8218-1521-2.