Discussió:Equacions de Cauchy-Riemann

Per a funcions de variable complexa, cal no confondre :

• la R-diferenciabilitat en un punt. Per exemple, la funció $z=x+iy\mapsto f(z)={\overline {z}}=x-iy$ és R-diferenciable en tot el pla complex (perquè té derivades parcials contínues en tot punt).
• la C-diferenciabilitat (o derivabilitat complexa) en un punt : existència del límit $f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}$.

Per a la funció precedent, aquest límit no existeix en cap punt.

Perquè una funció de variable complexa sigui C-diferenciable en un punt, és necessari i suficient que sigui R-diferenciable i compleixi les equacions de Cauchy-Riemann (en aquest punt).

Les funcions C-diferenciables en un obert són anomenades funcions holomorfes (i se sap l'equivalència d'aquesta propietat d' holomorfia amb l' analiticitat complexa).

De què estem parlant?

No m'agrada gens com està l'article. Això és un article sobre les Equacions de Cauchy-Riemann i vale, hi surten, però no sembla que ocupin el lloc central que es mereixen. M'agradava més l'edició anterior. L'edició anterior era més incompleta però quedava clar d'entrada què eren les equacions de C-R. Tal com està ara l'article es parla de conceptes que crec que haurien d'estar, més aviat, en articles sobre la R-diferenciabilitat, la C-diferenciabilitat i les funcions holomorfes. Realment penso que si algú ve a parar aquí perquè vol saber què són les Equacions de Cauchy-Riemann ho tindrà molt complicat per a aclarir-se. Penso que és molt important que no mes enllà del segon paràgraf el lector es trobi el següent:

${\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}$

${\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}$

Si després d'això s'hi ha de posar tot el que hi ha ara em sembla bé. Tot i que com ja he dit, potser seria més adequat repartir els conceptes entre diversos articles amb un bon entramat d'enllaços entre ells.--Fèlix 09:58, 7 jul 2006 (UTC)

Coi! si que ha canviat això des que vaig iniciar l'article! Estic d'acord amb en Felixllopart, això no és un llibre de text, ha de ser una definició de les equacions CR i després si es vol ampliar d'acord. No veig que tingui gaire sentit definir aquí què és una derivada parcial (per a això ja hi ha o hauria d'haver l'article derivada parcial) ni què és la C-diferenciabilitat ni la R-diferenciabilitat. Hauria de quedar molt clar, a nivell introductori que les eq. CR relacionen les derivades parcials de les parts reals i complexes d'una funció i ja està. Després es pot arribar al nivell de precisió i rigorositat que es vulgui, però el que no pot ser és que l'hipotètic lector hagi de llegir tot un llibre de text sobre funcions de variable complexa abans d'arribar a trobar les eq. CR. --Oersted (parlem-ne) 13:52, 7 jul 2006 (UTC)

Definició : les equacions de Cauchy-Riemann són el que cal afegir a la R-diferenciabilitat d'una funció (d'una variable complexa) en un punt perquè la funció sigui C-diferenciable (és a dir : perquè tingui derivada en sentit complex) en aquest mateix punt.

Per consegüent, la noció de R-diferenciabilitat és un prerequisit ; no veig com es pot parlar de les equacions de Cauchy-Riemann sense dir el que signifiquen (definició precedent), que fa necessàriament referència a la R-diferenciabilitat i la C-diferenciabilitat. Si l'article actual sembla massa llarg, és possible de posar tot el que precedeix "funcions C-diferenciables d'una variable complexa" en un altre article (cal no exagerar : una o dues pàgines no són "tot un llibre"). Vivarés 09:13, 11 jul 2006 (UTC)

---

Hi ha diverses formulacions equivalents de les equacions de Cauchy-Riemann. L'escriptura :

${\partial P \over \partial x}(x_{0},y_{0})={\partial Q \over \partial y}(x_{0},y_{0})$

${\partial P \over \partial y}(x_{0},y_{0})=-{\partial Q \over \partial x}(x_{0},y_{0})$

no és la única. Sovint, la formulació principal és

${\partial f \over \partial {\bar {z}}}(z_{0})=0$

i les altres se'n dedueixen. Vivarés 16:35, 10 jul 2006 (UTC)

No crec que aquí sigui el lloc adequat per als prerequisits. Posats a posar prerequisits podriem començar definint el concepte d'igualtat, d'equació, de variable,... i "así nos podemos pegar toda la vida". Com a molt aquí hi ha d'anar un enllaç discretet a algun prerequisit. Sí, tot el que precedeix, a un altre article. La notació que suggereixes és la més elegant i em sembla bé que hi sigui, però crec que la que ha d'ocupar el primer lloc és la que jo suggeria perquè crec que és la que, per a arribar al concepte d'equacions de Cauchy-Riemann suposa menys prerequisits (la notació més usual i més comprensible amb uns coneixements menors de matemàtiques).--Fèlix 06:05, 11 jul 2006 (UTC)

Plantilla referències

Retiro la plantilla FR després de comprovar que ja s'han resolt els problemes de falta de referències. aLZiNous: deixa'm un missatge. 19:01, 6 set 2022 (CEST)