Discussió:Espai de Banach
Aparença
Afirmació falsa
[modifica]L'article diu que les successions de Cauchy : « De manera resumida, són aquelles en què ||xn+1 − xn|| → 0 per a n→∞. » Això no és cert.
Heus aquí un contraexemple (clàssic) : si per a tot n ≥ 1, , , doncs no és una successió de Cauchy, i malgrat tot : .
(més generalment : )
(l'afirmació seria correcta si es tractés d'una successió d'elements d'un espai ultramètric : en aquest cas, una successió (xn) és de Cauchy si i només si . Però un espai vectorial normat sobre el cos dels nombres reals o dels nombres complexos no és un espai ultramètric). Vivarés (disc.)