Distribució de Landau

Distribució de Landau

Tipus	distribució univariant i Distribució estable
Epònim	Lev Landau

En teoria de probabilitats, la distribució de Landau és una distribució de probabilitat anomenada després de Lev Landau. A causa de la cua "grossa" de la distribució, els moments de la distribució, com la mitjana o la variància, no estan definits. La distribució és un cas particular de distribució estable.

Definició

La funció de densitat de probabilitat, tal com va escriure originalment Landau, es defineix per la integral complexa:

$p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,$

on a és un nombre real positiu arbitrari, el que significa que el camí d'integració pot ser qualsevol paral·lel a l'eix imaginari, tallant el semieix positiu real, i $\log$ fa referència al logaritme natural. En altres paraules, és la transformada de Laplace de la funció $s^{s}$.

$p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.$

La família completa de distribucions Landau s'obté ampliant la distribució original a una família a escala de localització de distribucions estables amb paràmetres. $\alpha =1$ i $\beta =1$, amb funció característica:

$\varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)$

on $c\in (0,\infty )$ i $\mu \in (-\infty ,\infty )$, que dona una funció de densitat:

$p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt,$

Presa $\mu =0$ i $c={\frac {\pi }{2}}$ obtenim la forma original de $p(x)$ a dalt.