Efecte Voigt

Esquema de l'efecte Kerr polar, efecte Kerr longitudinal i efecte Voigt

L'efecte Voigt és un fenomen magneto-òptic que gira i el·liptitza la llum polaritzada linealment enviada a un medi òpticament actiu. L'efecte rep el nom del científic alemany Woldemar Voigt que el va descobrir en vapors. A diferència de molts altres efectes magneto-òptics com l'efecte Kerr o Faraday que són linealment proporcionals a la magnetització (o al camp magnètic aplicat per a un material no magnetitzat), l'efecte Voigt és proporcional al quadrat de la magnetització (o quadrat de el camp magnètic) i es pot veure experimentalment amb incidència normal. També hi ha altres denominacions per a aquest efecte, utilitzades indistintament en la literatura científica moderna: l'efecte Cotton-Mouton (en referència als científics francesos Aimé Cotton i Henri Mouton que van descobrir el mateix efecte en líquids uns anys més tard) i la birrefringència magnètica-lineal., amb aquest últim reflectint el significat físic de l'efecte.

Per a una ona incident electromagnètica polaritzada linealment ${\vec {E_{i}}}=(\cos \beta ,\,\sin \beta ,\,0)e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ i una mostra polaritzada en el pla ${\vec {m}}=(\cos \phi ,\,\sin \phi ,\,0)$, l'expressió de la rotació en la geometria de reflexió és $\delta \beta$ és: $$\delta \beta _{r}={\frac {2\Delta n}{n_{0}^{2}-1}}\sin[2(\phi -\beta )]$$ i en la geometria de la transmissió: $$\delta \beta _{t}={\frac {B_{1}+n_{0}^{2}{\Big [}{\frac {2L\omega }{c}}(1+n_{0})Q_{i}Q_{r}+Q_{r}^{2}-Q_{i}^{2}{\Big ]}}{n_{0}(1+n_{0})}},$$ on ${\textstyle \Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}}$ és la diferència dels índexs de refracció en funció del paràmetre de Voigt $Q=Q_{i}+iQ_{r}$ (igual que per a l'efecte Kerr), $n_{0}$ els índexs de refracció del material i $B_{1}$ el paràmetre responsable de l'efecte Voigt i així proporcional al $M^{2}$ o $(\mu _{0}H)^{2}$ en el cas d'un material paramagnètic

Els càlculs detallats i una il·lustració es donen a les seccions següents.

Teoria

Marc i sistema de coordenades per a la derivació de l'efecte Voigt. ${\vec {E}}_{i}$ , ${\vec {E}}_{r}$ i ${\vec {E}}_{t}$ es refereixen al camp electromagnètic incident, reflectit i transmès.

Igual que amb els altres efectes magneto-òptics, la teoria es desenvolupa de manera estàndard amb l'ús d'un tensor dielèctric efectiu a partir del qual es calculen els valors propis dels sistemes i els vectors propis. Com és habitual, a partir d'aquest tensor, els fenòmens magneto-òptics es descriuen principalment pels elements fora de la diagonal.

Aquí, es considera una polarització incident que es propaga en la direcció z: ${\vec {E_{i}}}=(\cos \beta ,\,\sin \beta ,\,0)e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ el camp elèctric i una mostra magnetitzada homogèniament en el pla ${\vec {m}}=(\cos \phi ,\,\sin \phi ,\,0)$ on $\phi$ es compta des de la direcció cristal·logràfica [100]. L'objectiu és calcular ${\vec {E_{r}}}=(\cos \beta +\delta \beta ,\,\sin \beta +\delta \beta ,\,0)e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ on $\delta \beta$ és la rotació de la polarització deguda a l'acoblament de la llum amb la magnetització. Observem-ho $\delta \beta$ és experimentalment una petita quantitat de l'ordre de mrad. ${\vec {m}}$ és el vector de magnetització reduït definit per ${\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}$, $M_{s}$ la magnetització a la saturació. Hem destacat amb el fet que és perquè el vector de propagació de la llum és perpendicular al pla de magnetització que és possible veure l'efecte Voigt.

Tensor dielèctric

Seguint la notació d'Hubert, el tensor cúbic dielèctric generalitzat $\varepsilon _{r}$ prendre la forma següent: $$(1)\qquad \varepsilon _{r}=\epsilon {\begin{bmatrix}1&0&iQm_{y}\\0&1&-iQm_{x}\\-iQm_{y}&iQm_{x}&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1}m_{x}^{2}&B_{2}m_{x}m_{y}&0\\B_{2}m_{x}m_{y}&B_{1}m_{y}^{2}&0\\0&0&B_{1}m_{z}^{2}\end{bmatrix}}$$ on $\varepsilon$ és la constant dielèctrica del material, $Q$ el paràmetre Voigt, $B_{1}$ i $B_{2}$ dues constants cúbiques que descriuen efecte magneto-òptic en funció de $m_{i}^{2}$. $m_{i}$ és la reducció $m_{i}=M_{i}/M_{s}$. El càlcul es fa en l'aproximació esfèrica amb $B_{1}=B_{2}$. En el moment actual, no hi ha evidència que aquesta aproximació no sigui vàlida, ja que l'observació de l'efecte Voigt és rara perquè és extremadament petita respecte a l'efecte Kerr.

Valors propis i vectors propis

Per calcular els valors propis i els vectors propis, considerem l'equació de propagació derivada de les equacions de Maxwell, amb la convenció ${\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega$ : $$(2)\qquad n^{2}{\vec {E}}-{\vec {n}}({\vec {n}}\cdot {\vec {E}})=\varepsilon {\vec {E}}$$Quan la magnetització és perpendicular al vector d'ona de propagació, al contrari de l'efecte Kerr,

${\vec {E}}$ pot tenir els seus tres components iguals a zero, fent que els càlculs siguin més complicats i que les equacions de Fresnel ja no siguin vàlides. Una manera de simplificar el problema consisteix a utilitzar el vector de desplaçament del camp elèctric ${\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}$. Des de ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0$ i ${\vec {k}}\parallel {\vec {z}}$ tenim ${\vec {D}}=(D_{x},D_{y},0)$. El tensor dielèctric invers pot semblar complicat de manejar, però aquí el càlcul es va fer per al cas general. Es pot seguir fàcilment la demostració considerant $\phi =0$.

Els valors propis i els vectors propis es troben resolent l'equació de propagació ${\vec {D}}$ que dóna el següent sistema d'equacions: $$(3)\quad {\begin{cases}(\varepsilon _{xx}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{x}+\epsilon _{xy}^{-1}D_{y}=0\\\\\varepsilon _{yx}^{-1}D_{x}+(\varepsilon _{yy}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{y}=0\end{cases}}$$ on $\varepsilon _{ij}^{-1}$ representa la inversa $ij$ element del tensor dielèctric $\varepsilon _{r}$, i $n^{2}=\varepsilon$. Després d'un càlcul senzill del determinant del sistema, s'ha de fer un desenvolupament en segon ordre a $Q$ i primer ordre de $B_{1}$. Això va conduir als dos valors propis corresponents als dos índexs de refracció: $$n_{\parallel }^{2}=\varepsilon +B_{1}$$$$n_{\perp }^{2}=\varepsilon (1-Q^{2})$$Els vectors propis corresponents per ${\vec {D}}$ i per ${\vec {E}}$ són:

$$(4)\qquad {\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}\cos(\phi )\\\sin(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}-\sin(\phi )\\\cos(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\parallel }=\varepsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}{\frac {\cos(\phi )}{B_{1}+\varepsilon }}\\{\frac {\sin(\phi )}{B_{1}+\epsilon }}\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\perp }=\varepsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}{\frac {\sin(\phi )}{(Q^{2}-1)\epsilon }}\\{\frac {\cos(\phi )}{(1-Q^{2})\epsilon }}\\{\frac {-iQ}{(1-Q^{2})\epsilon }}\end{pmatrix}}$$