Equació d'inducció

L'equació d'inducció, una de les equacions magnetohidrodinàmiques, és una equació diferencial parcial que relaciona el camp magnètic i la velocitat d'un fluid conductor elèctric com un plasma. Es pot derivar de les equacions de Maxwell i de la llei d'Ohm, i té un paper important en la física del plasma i en l'astrofísica, especialment en la hipòtesi de la dinamo.

Declaració matemàtica

Les equacions de Maxwell descriuen les lleis de Faraday i Ampère

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\partial {\vec {B}} \over \partial t},$

i

${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}},$

on s'ha descuidat el corrent de desplaçament ja que sol tenir petits efectes tant en aplicacions astrofísiques com en la majoria de plasmes de laboratori. Aquí, ${\vec {E}}$ i ${\vec {B}}$ són, respectivament, el camp elèctric i el camp magnètic, i ${\vec {J}}$ és el corrent elèctric. El camp elèctric pot estar relacionat amb la densitat de corrent utilitzant la llei d'Ohm, ${\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}={\vec {J}}/\sigma$ on ${\vec {v}}$ és la velocitat del camp, i $\sigma$ és la conductivitat elèctrica del fluid. Combinant aquestes tres equacions, eliminant ${\vec {E}}$ i ${\vec {J}}$, produeix l'equació d'inducció per a un fluid elèctric resistent:

${\partial {\vec {B}} \over \partial t}=\eta \nabla ^{2}{\vec {B}}+{\vec {\nabla }}\times ({\vec {v}}\times {\vec {B}}),$

on, $\eta =1/\mu _{0}\sigma$ és la difusivitat magnètica (en la literatura, la resistivitat elèctrica, definida com $1/\sigma$, sovint s'identifica amb la difusivitat magnètica).

Si el fluid es mou amb una velocitat típica $V$ en una escala de longitud típica $L$, llavors

$\eta \nabla ^{2}{\vec {B}}\sim {\eta B \over L^{2}},{\vec {\nabla }}\times ({\vec {v}}\times {\vec {B}})\sim {VB \over L}.$

La relació d'aquestes quantitats, que és un paràmetre adimensional, s'anomena nombre de Reynolds magnètic $(Re_{m})$:

$Re_{m}={LV \over \eta }$.

Límit perfectament conductor

Per a un fluid amb conductivitat elèctrica infinita, $\eta \rightarrow 0$, el primer terme de l'equació d'inducció s'esvaeix. Això és equivalent a un nombre de Reynolds magnètic molt gran. Per exemple, pot ser d'ordre $10^{9}$ en una estrella típica. En aquest cas, el fluid es pot anomenar «fluid perfecte» o «fluid ideal». Per tant, l'equació d'inducció per a un fluid conductor ideal com la majoria dels plasmes astrofísics és

${\partial {\vec {B}} \over \partial t}={\vec {\nabla }}\times ({\vec {v}}\times {\vec {B}}).$

Es considera que és una bona aproximació en la hipòtesi de la dinamo, que s'utilitza per explicar l'evolució del camp magnètic en entorns astrofísics com ara les estrelles, les galàxies i els discs d'acreció.

Límit difusiu

Per a nombres de Reynolds magnètics molt petits, el terme difusiu supera el terme convectiu. Per exemple, en un fluid elèctric resistent amb grans valors de $\eta$, el camp magnètic es difon molt ràpid i no es pot aplicar el teorema d'Alfvén. Això significa que l'energia magnètica es dissipa en forma de calor i altres tipus d'energia. En aquest cas, l'equació d'inducció és

${\partial {\vec {B}} \over \partial t}=\eta \nabla ^{2}{\vec {B}}.$

És habitual definir una escala de temps de dissipació $\tau _{d}=L^{2}/\eta$ que és l'escala de temps per a la dissipació de l'energia magnètica en una escala de longitud $L$.