Vés al contingut

Equació de Bateman

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En física nuclear, l'equació de Bateman és un model matemàtic que descriu abundàncies i activitats en una cadena de desintegració en funció del temps, basant-se en les taxes de desintegració i en les abundàncies inicials. El model va ser formulat per Ernest Rutherford el 1905 i la solució analítica va ser proporcionada per Harry Bateman el 1910.[1]

Si, en el moment , hi ha isòtops d'àtoms que es desintegren en isòtops en una relació , l'evolució de la quantitat d'isòtops de la cadena de desintegració en k-passos és:

(això es pot adaptar per manejar les branques de desintegració). Tot i que es pot resoldre de manera explícita per , les fórmules es tornen ràpidament molestes per a cadenes més llargues.[2] L'equació de Bateman és una equació mestra clàssica on només es permeten les taxes de transició d'una espècie a la següent , però mai en el sentit invers (de a està prohibit).

Bateman va trobar una fórmula explícita general per a les quantitats prenent la transformada de Laplace de les variables.

(aquesta fórmula també es pot ampliar amb termes d'origen, si es proporcionen externament més isòtops d'àtoms a un ritme constant).[3]

Mentre que la fórmula de Bateman es pot implementar fàcilment en un codi informàtic, si per a alguns parells d'isòtops, la cancel·lació pot conduir a errors computacionals. Per tant, també es fan servir altres mètodes com la integració numèrica o el mètode de l'exponencial d'una matriu.[4]

Per exemple, per al cas simple d'una cadena de tres isòtops es redueix a la corresponent equació de Bateman

Referències

[modifica]
  1. Bateman, H. (1910, June). The solution of a system of differential equations occurring in the theory of radioactive transformations. In Proc. Cambridge Philos. Soc (Vol. 15, No. pt V, pp. 423–427) https://archive.org/details/cbarchive_122715_solutionofasystemofdifferentia1843
  2. «Archived copy». Arxivat de l'original el 2013-09-27. [Consulta: 22 setembre 2013].
  3. [enllaç sense format] http://www.nucleonica.com/wiki/index.php?title=Help%3ADecay_Engine%2B%2B
  4. Logan J. Harr. Precise Calculation of Complex Radioactive Decay Chains. M.Sc thesis Air Force Institute of Technology. 2007. http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a469273.pdf Arxivat 2017-04-30 a Wayback Machine.

Vegeu també

[modifica]