Equació de Grad-Shafranov

En magnetohidrodinàmica, l'equació de Grad-Shafranov (H. Grad i H. Rubin (1958); Vitalii Dmitrievich Shafranov (1966)) és l'equació d’equilibri ideal per a un plasma bidimensional, per exemple el plasma toroidal simètric a l'eix en un tokamak. Aquesta equació adopta la mateixa forma que l'equació de Hicks des de la dinàmica de fluids.  Aquesta equació és una equació el·líptica en derivades parcials bidimensional i no lineal obtinguda de la reducció de les equacions ideals de la magnetohidrodinàmica a dues dimensions, sovint per al cas de toroïdals simètrics a l'eix (com per exemple, en un tokamak).

Si prenem $(r,\theta ,z)$ com a coordenades cilíndriques, la funció de flux $\psi$ es regeix per l'equació

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\mu _{0}r^{2}{\frac {dp}{d\psi }}-{\frac {1}{2}}{\frac {dF^{2}}{d\psi }},$

on $\mu _{0}$ és la permeabilitat magnètica, $p(\psi )$ és la pressió, $F(\psi )=rB_{\phi }$, i el camp magnètic i el corrent són, respectivament, donats per

${\begin{aligned}{\vec {B}}&={\frac {1}{r}}\nabla \psi \times {\hat {e}}_{\theta }+{\frac {F}{r}}{\hat {e}}_{\theta },\\\mu _{0}{\vec {J}}&={\frac {1}{r}}{\frac {dF}{d\psi }}\nabla \psi \times {\hat {e}}_{\theta }-\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right]{\hat {e}}_{\theta }.\end{aligned}}$

La naturalesa de l'equilibri, ja sigui un tokamak, un tros de camp invertit, etc. està determinada en gran manera per les eleccions de les dues funcions $F(\psi )$ i $p(\psi )$ així com les condicions límit.

Derivació (en coordenades de lloses)

A continuació, se suposa que el sistema és bidimensional amb $z$ com a eix invariant, és a dir ${\frac {\partial }{\partial z}}=0$ per a totes les quantitats. Llavors, el camp magnètic es pot escriure en coordenades cartesianes com

$\mathbf {B} =\left({\frac {\partial A}{\partial y}},-{\frac {\partial A}{\partial x}},B_{z}(x,y)\right),$

o de manera més compacta,

$\mathbf {B} =\nabla A\times {\hat {\mathbf {z} }}+B_{z}{\hat {\mathbf {z} }},$

on $A(x,y){\hat {\mathbf {z} }}$ és el potencial vectorial del camp magnètic en el pla (components x i y). Tingueu en compte que, basant-nos en aquesta forma de B podem veure que A és constant al llarg de qualsevol línia de camp magnètic donat, ja que $\nabla A$ és perpendicular a B arreu (tingueu en compte també que -A és la funció de flux $\psi$ esmentat més amunt).

Les estructures magnètiques estacionàries i bidimensionals es descriuen pel balanç de forces de pressió i forces magnètiques, és a dir:

$\nabla p=\mathbf {j} \times \mathbf {B} ,$

on p és la pressió del plasma i j és el corrent elèctric. Se sap que p és una constant al llarg de qualsevol línia de camp (de nou, des de $\nabla p$ és perpendicular a B). A més, el supòsit bidimensional (${\frac {\partial }{\partial z}}=0$) significa que el component z del costat esquerre ha de ser zero, de manera que el component z de la força magnètica del costat dret també ha de ser zero. Això significa que $\mathbf {j} _{\perp }\times \mathbf {B} _{\perp }=0$, és a dir, $\mathbf {j} _{\perp }$és paral·lel a $\mathbf {B} _{\perp }$.

El costat dret de l'equació anterior es pot considerar en dues parts:

$\mathbf {j} \times \mathbf {B} =j_{z}({\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {B_{\perp }} )+\mathbf {j_{\perp }} \times {\hat {\mathbf {z} }}B_{z},$

on el índex $\perp$ indica el component en el pla perpendicular a l'eix $z$. El component $z$ del corrent de l'equació anterior es pot escriure en termes del potencial vectorial unidimensional com

$j_{z}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla ^{2}A.$.

El camp en el pla és

$\mathbf {B} _{\perp }=\nabla A\times {\hat {\mathbf {z} }}$,

i utilitzant l'equació de Maxwell-Ampère, el corrent en el pla ve donat per

$\mathbf {j} _{\perp }={\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla B_{z}\times {\hat {\mathbf {z} }}$.

Per tal que aquest vector sigui paral·lel a $\mathbf {B} _{\perp }$ segons sigui necessari, el vector $\nabla B_{z}$ ha de ser perpendicular a $\mathbf {B} _{\perp }$, i $B_{z}$ té que ser, com $p$, un invariant de línia de camp.

Reorganitzant els productes creuats anteriors condueix a

${\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {B} _{\perp }=\nabla A-(\mathbf {\hat {z}} \cdot \nabla A)\mathbf {\hat {z}} =\nabla A$,

i

$\mathbf {j} _{\perp }\times B_{z}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {B_{z}}{\mu _{0}}}(\mathbf {\hat {z}} \cdot \nabla B_{z})\mathbf {\hat {z}} -{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}.$

Aquests resultats es poden substituir per l'expressió de $\nabla p$ per a donar:

$\nabla p=-\left[{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla ^{2}A\right]\nabla A-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}.$

A partir que $p$ i $B_{z}$ són constants al llarg d'una línia de camp i només tenen funcions d'$A$, llavors $\nabla p={\frac {dp}{dA}}\nabla A$ i $\nabla B_{z}={\frac {dB_{z}}{dA}}\nabla A$. D’aquesta manera, es factoritza $\nabla A$ i la reordenació dels termes produeix l'equació de Grad-Shafranov:

$\nabla ^{2}A=-\mu _{0}{\frac {d}{dA}}\left(p+{\frac {B_{z}^{2}}{2\mu _{0}}}\right).$

Bibliografia

• Grad, H., and Rubin, H. (1958) Hydromagnetic Equilibria and Force-Free Fields Arxivat 2023-06-21 a Wayback Machine.. Proceedings of the 2nd UN Conf. on the Peaceful Uses of Atomic Energy, Vol. 31, Geneva: IAEA p. 190.
• Shafranov, V.D. (1966) Plasma equilibrium in a magnetic field, Reviews of Plasma Physics, Vol. 2, New York: Consultants Bureau, p. 103.
• Woods, Leslie C. (2004) Physics of plasmas, Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, chapter 2.5.4
• Haverkort, J.W. (2009) Axisymmetric Ideal MHD Tokamak Equilibria Arxivat 2014-10-26 a Wayback Machine.. Notes about the Grad–Shafranov equation, selected aspects of the equation and its analytical solutions.
• Haverkort, J.W. (2009) Axisymmetric Ideal MHD equilibria with Toroidal Flow Arxivat 2014-10-26 a Wayback Machine.. Incorporation of toroidal flow, relation to kinetic and two-fluid models, and discussion of specific analytical solutions.