Equació de Kadomtsev-Petviashvili

En matemàtiques i física, l'equació de Kadomtsev-Petviashvili, també coneguda com a equació de KP, que duu el nom de Boris Borisovich Kadomtsev i Vladimir Iosifovich Petviashvili que van ser els primers a formular-la, és una equació diferencial en derivades parcials per descriure el moviment d'ona no lineal. L'equació KP s'escriu normalment com:

\displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxx}u)+\lambda \partial _{yy}u=0

on

\lambda =\pm 1

La forma anterior mostra que l'equació KP és una generalització a dues dimensions espacials, x i y, de l'equació unidimensional de Korteweg-de Vries (KdV). Perquè sigui físicament significativa, la direcció de propagació de l'ona no ha d'estar gaire allunyada de la direcció x, és a dir, amb variacions lentes de les solucions en la direcció y.

Igual que l'equació KdV, l'equació KP és completament integrable.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] També pot resoldre's utilitzant la transformació de dispersió inversa de forma molt similar a l'equació no lineal de Schrödinger.^[6]

Història

L'equació de KP va ser escrita per primera vegada l'any 1970 pels físics soviètics Boris B. Kadomtsev (1928-1998) i Vladimir I. Petviashvili (1936-1993); va sorgir com una generalització natural de l'equació del PKV (derivada per Korteweg i De Vries l'any 1895). Mentre que en l'equació de Korteweg-de Vries les ones són estrictament unidimensionals, en l'equació de KP aquesta restricció es relaxa. Així i tot, tant en l'equació de KdV com en la de KP, les ones han de viatjar en la direcció x positiva.

Connexió amb la física

Es pot utilitzar l'equació KP per modelar ones d'aigua de longitud d'ona llarga amb forces de restauració suaus no lineals i dispersió de freqüència. Si la tensió superficial és feble comparada amb les forces gravitacionals, s'usa $\lambda =+1$ ; si la tensió superficial és forta, llavors s'usa $\lambda =-1$ . A causa de l'asimetria en la forma en què els termes x i y entren en l'equació, les ones descrites per l'equació KP es comporten de manera diferent en la direcció de propagació (direcció x) i transversal (direcció y); les oscil·lacions en la direcció y tendeixen a ser més suaus.

L'equació KP també pot utilitzar-se per modelar ones en medis ferromagnètics,^[7] així com polsos bidimensionals d'ones de matèria en condensat de Bose-Einstein.

Límits del comportament

Per a $\epsilon \ll 1$ , les oscil·lacions típiques dependents de x tenen una longitud d'ona de l'ordre de $O(1/\epsilon )$ donant un règim límit singular quan $\epsilon \rightarrow 0$ . S'anomena límit sense dispersió.^[8]^[9]^[10]

Si també assumim que les solucions són independents de y, com que $\epsilon \rightarrow 0$ , llavors també satisfan l'equació de Burger:

\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=0.

Suposem que l'amplitud de les oscil·lacions d'una solució és petita assimptòticament — $O(\epsilon )$ — en el límit sense dispersió. Llavors l'amplitud satisfà una equació de camp mitjà del tipus Davey-Stewartson.

Referències

↑ Wazwaz, A. M. (2007). Multiple-soliton solutions for the KP equation by Hirota’s bilinear method and by the tanh–coth method. Applied Mathematics and Computation, 190(1), 633-640.
↑ Cheng, Y., & Li, Y. S. (1991). The constraint of the Kadomtsev-Petviashvili equation and its special solutions. Physics Letters A, 157(1), 22-26.
↑ Ma, W. X. (2015). Lump solutions to the Kadomtsev–Petviashvili equation. Physics Letters A, 379(36), 1975-1978.
↑ Kodama, Y. (2004). Young diagrams and N-soliton solutions of the KP equation. Journal of Physics A: Mathematical and General, 37(46), 11169.
↑ Deng, S. F., Chen, D. Y., & Zhang, D. J. (2003). The multisoliton solutions of the KP equation with self-consistent sources. Journal of the Physical Society of Japan, 72(9), 2184-2192.
↑ Ablowitz, M. J., & Segur, H. (1981). Solitons and the inverse scattering transform. SIAM.
↑ Leblond, H. (2002). KP lumps in ferromagnets: a three-dimensional KdV–Burgers model. Journal of Physics A: Mathematical and General, 35(47), 10149.
↑ Zakharov, V. E. (1994). Dispersionless limit of integrable systems in 2+ 1 dimensions. In Singular limits of dispersive waves (pp. 165-174). Springer, Boston, MA.
↑ Strachan, I. A. (1995). The Moyal bracket and the dispersionless limit of the KP hierarchy. Journal of Physics A: Mathematical and General, 28(7), 1967.
↑ Takasaki, K., & Takebe, T. (1995). Integrable hierarchies and dispersionless limit. Reviews in Mathematical Physics, 7(05), 743-808.

Bibliografia

Kadomtsev, B. B.; Petviashvili, V. I. «On the stability of solitary waves in weakly dispersive media». Sov. Phys. Dokl., 15, 1970, pàg. 539–541. Bibcode: 1970SPhD...15..539K.. Translation of «Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах». Doklady Akademii Nauk SSSR, 192, pàg. 753–756.
Previato, Emma. Michiel Hazewinkel (ed.). K/k120110. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Kodama, Y. (2017). KP Solitons and the Grassmannians: combinatorics and geometry of two-dimensional wave patterns. Springer.

Bibliografia complementària

Lou, S. Y., & Hu, X. B. (1997). Infinitely many Lax pairs and symmetry constraints of the KP equation. Journal of Mathematical Physics, 38(12), 6401-6427.
Nakamura, A. (1989). A bilinear N-soliton formula for the KP equation. Journal of the Physical Society of Japan, 58(2), 412-422.
Kodama, Y. (2004). Young diagrams and N-soliton solutions of the KP equation. Journal of Physics A: Mathematical and General, 37(46), 11169.
Xiao, T., & Zeng, Y. (2004). Generalized Darboux transformations for the KP equation with self-consistent sources. Journal of Physics A: Mathematical and General, 37(28), 7143.
Minzoni, A. A., & Smyth, N. F. (1996). Evolution of lump solutions for the KP equation. Wave Motion, 24(3), 291-305.

Enllaços externs

Weisstein, Eric W., «Kadomtsev–Petviashvili equation» a MathWorld (en anglès).
Gioni Biondini and Dmitri Pelinovsky, scholarpedia. [Kadomtsev-Petviashvili_equation Kadomtsev–Petviashvili equation].
«The KP page». University of Washington, Department of Applied Mathematics. Arxivat de l'original el 6 de febrer de 2006. [Consulta: 16 juny 2019].

[1] Wazwaz, A. M. (2007). Multiple-soliton solutions for the KP equation by Hirota’s bilinear method and by the tanh–coth method. Applied Mathematics and Computation, 190(1), 633-640.

[2] Cheng, Y., & Li, Y. S. (1991). The constraint of the Kadomtsev-Petviashvili equation and its special solutions. Physics Letters A, 157(1), 22-26.

[3] Ma, W. X. (2015). Lump solutions to the Kadomtsev–Petviashvili equation. Physics Letters A, 379(36), 1975-1978.

[4] Kodama, Y. (2004). Young diagrams and N-soliton solutions of the KP equation. Journal of Physics A: Mathematical and General, 37(46), 11169.

[5] Deng, S. F., Chen, D. Y., & Zhang, D. J. (2003). The multisoliton solutions of the KP equation with self-consistent sources. Journal of the Physical Society of Japan, 72(9), 2184-2192.

[6] Ablowitz, M. J., & Segur, H. (1981). Solitons and the inverse scattering transform. SIAM.

[7] Leblond, H. (2002). KP lumps in ferromagnets: a three-dimensional KdV–Burgers model. Journal of Physics A: Mathematical and General, 35(47), 10149.

[8] Zakharov, V. E. (1994). Dispersionless limit of integrable systems in 2+ 1 dimensions. In Singular limits of dispersive waves (pp. 165-174). Springer, Boston, MA.

[9] Strachan, I. A. (1995). The Moyal bracket and the dispersionless limit of the KP hierarchy. Journal of Physics A: Mathematical and General, 28(7), 1967.

[10] Takasaki, K., & Takebe, T. (1995). Integrable hierarchies and dispersionless limit. Reviews in Mathematical Physics, 7(05), 743-808.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]