Equació de Slutski

En economia, l'equació de Slutski (o identitat de Slutski), denominada a partir del matemàtic, estadístic i economista ucraïnès Ievgueni Slutski (1880-1948), descriu canvis en la demanda marshalliana en relació amb la demanda hicksiana.

La matriu de Slutski o Descomposició de Slutski és un mètode per determinar la derivació de la funció de demanda hicksiana fonamentalment inobservable per al preu de la demanda marshalliana potencialment observable; l'equació resultant es diu equació de Slutski. Resulta que la descomposició de Slutski pot trencar el canvi a la demanda d'un bé causat per un canvi de preu en una substitució i un efecte d'ingressos.

En altres paraules demostra que els canvis a la demanda com a conseqüència de canvis en el preu són el resultat de dos efectes:

• un efecte substitució, resultat d'un canvi en la taxa de substitució entre dos béns; i
• un efecte renda, l'efecte del canvi en el preu resulta en un canvi en el poder adquisitiu del consumidor.

Cada element de la matriu de Slutski ve donat per

${\partial x_{i}(p,w) \over \partial p_{j}}={\partial h_{i}(p,u) \over \partial p_{j}}-{\partial x_{i}(p,w) \over \partial w}x_{j}(p,w),\,$

on:

• $h(p,u)$ és la demanda hicksiana i
• $x(p,w)$ és la demanda marshalliana, a un nivell de preus p, un nivell de riquesa w i un nivell d'utilitat u.

El primer element representa l'efecte substitució, i el segon element representa l'efecte renda.

La mateixa equació es pot reescriure com:

$D_{p}x(p,w)=D_{p}h(p,u)-D_{w}x(p,w)x(p,w)^{\top },\,$

on D_p és la derivada pel que fa al preu i D_w és la derivada pel que fa a la riquesa.

L'equació $D_{p}h(p,u)$ es coneix com l'equació de Slutski.

Derivació

Si bé hi ha diferents maneres per derivar l'equació de Slutski, el següent mètode és generalment considerat ser el més simple. Es comença notant la relació $h_{i}(p,u)=x_{i}(p,e(p,u))$ on $e(p,u)$ és la funció de despesa. Diferenciant l'equació anterior dona el següent:

${\frac {\partial h_{i}(p,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(p,e(p,u))}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial x_{i}(p,e(p,u))}{\partial e(p,u)}}\times {\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{j}}}$

Fent ús del fet que $e(p,u)=w$ i

${\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{j}}}=h_{j}(p,u)=h_{j}(p,v(p,w))=x_{j}(p,w)$ on $v(p,w)$ és la funció d'utilitat indirecta, es pot substituir i reescriure la derivada anterior com l'equació de Slutski.