Equació irracional

Una equació irracional, anomenada també equació amb radicals, és una equació que conté la incògnita (o una expressió algebraica racional de la incògnita) sota un o més signes radicals. En matemàtiques elementals, les solucions de les equacions irracionals es busquen en el conjunt dels nombres reals, ℝ.

Consideracions

Qualsevol equació irracional pot transformar-se en una equació algebraica racional mitjançant operacions algebraiques bàsiques, encara que aquesta equació pot tenir altres solucions i no ser equivalent a l'equació irracional. Per aquesta raó, es recomana comprovar sempre les solucions.

Resolució

Existeixen diversos mètodes per resoldre una equació irracional però, aquests poden ser més o menys eficaços segons l'equació. Els dos mètodes bàsics són els següents:

Mètode d'elevació

Consisteix en l'elevació successiva d'ambdós parts de l'equació al natural que faci que les arrels es cancel·len.

Exemple:

${\sqrt {2x+1}}=x-1$

Observació: Les possibles solucions han de ser $x\geq -1/2$, ja que l'arrel és quadrada.

S'eleven ambdós costats al quadrat:

$({\sqrt {2x+1}})^{2}=(x-1)^{2}$

S'obté la següent equació racional:

$2x+1=(x-1)^{2}$

Les solucions d'aquesta equació de segon grau són $x=0$ i $x=4$. No obstant això, l'única solució de l'equació irracional inicial és $x=4$, ja que, si es substitueix $x=0$ en l'equació, s'obté ${\sqrt {1}}=-1$.

Mètode de substitució

Consisteix en aplicar un canvi de variable per transformar l'equació en racional.

Exemple:

$2\cdot {\sqrt[{5}]{x+2}}+{\sqrt[{5}]{(x+2)^{2}}}=-1$

Observació: Les possibles solucions poden ser qualsevol real, ja que les arrels són d'ordre imparell.

Siga $y={\sqrt[{5}]{x+2}}$. Aleshores, s'obté la següent equació:

$2y+y^{2}=-1$

L'única solució d'aquesta equació cuadràtica és $y=-1$. Desfent el canvi, s'obte la solució de l'equació irracional inicial: $x=-3$.