Espai completament de Hausdorff

En topologia, els espais completament de Hausdorff i espais d'Urysohn (o T_2½) són tipus d'espais topològics que satisfan axiomes de separació més forts que els de l'espai de Hausdorff.

Definicions

Suposem que X és un espai topològic. Siguin x i y punts en X.

• Diem que x i y poden separar-se per veïnats tancats si hi ha un veïnat tancat U de x i un veïnat tancat V de y tal que U i V són disjunts (U ∩ V = ∅). Aquí un veïnat tancat de x és un conjunt tancat que conté un conjunt obert que conté x.
• Diem que x i y poden ser separats per una funció si hi ha una funció contínua f : X → [0,1] (l'interval unitari) amb f(x) = 0 i f(y) = 1.

Un espai d'Urysohn o espai T_2½ o espai T_2,5 és un espai en el qual dos punts qualsevol poden separar-se per mitjà de veïnats tancats.

Un espai completament de Haudorff o espai funcional de Hausdorff és un espai en el qual dos punts diferents poden separar-se per una funció.

Convencions de noms

L'estudi dels axiomes de separació és notori pels problemes amb els noms i les seves convencions. Les definicions utilitzades en aquest article són les donades per Willard (1970) i són les definicions més modernes. Steen & Seebach (1978) i altres autors van invertir les definicions dels espais completament de Hausdorff i els espais d'Urysohn.

Relació amb altres axiomes de separació

És un exercici senzill mostrar que dos punts qualssevol que poden separar-se per una funció poden separar-se per veïnats tancats. Si poden separar-se per veïnats tancats llavors clarament poden separar-se per veïnats. Es dedueix que cada espai completament de Hausdorff és d'Urysohn i cada espai d'Urysohn és de Hausdorff.

Un pot mostrar també que cada espai regular de Hausdorff és d'Urysohn i cada espai de Tychonoff (= espai completament regular de Hausdorff) és completament de Hausdorff. En resum tenim les següents implicacions:

Tychonoff (T3½)	$\Rightarrow$	regular de Hausdorff (T₃)
$\Downarrow$		$\Downarrow$
Hausdorff completament	$\Rightarrow$	Urysohn (T2½)	$\Rightarrow$	Hausdorff (T₂)	$\Rightarrow$	Fréchet (T1)

Es poden trobar contraexemples mostrant que cap d'aquestes implicacions s'inverteix.

Exemples

La cotopologia d'extensió comptable és una topologia sobre la línia real generada per la unió de la topologia usual euclidiana i la cotopologia comptable. Els conjunts són oberts en aquesta topologia si i només si són de la forma U\A on U és obert a la topologia euclidiana i A és comptable. Aquest espai és completament de Hausdorff i d'Urysohn, però no regular (i així, no de Tychonoff).

Hi ha exemples més obscurs d'espais que són de Hausdorff però no d'Urysohn, i espais que són d'Urysohn però no completament de Hausdorff o regular de Hausdorff. Per a més detalls, vegeu Steen & Seebach (1978).

Referències

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. Counterexample in Topology (en anglès). Reedició de Dover de 1995. Berlin, Nova York: Springer-Verlag, 1978. MR 507.446. ISBN 978-0-486-68735-3. 
• Willard, Stephen. General Topology (en anglès). Reedició de Dover de 2004. Addison-Wesley, 1970. ISBN 0-486-43479-6. .
• Completely Hausdorff a PlanetMath