Espai cotangent

En geometria diferencial, l'espai cotangent és un espai vectorial associat a un punt $x$ en una varietat llisa (o diferenciable) ${\mathcal {M}}$; es pot definir un espai cotangent per a cada punt d'una varietat llisa. Normalment, l'espai cotangent, $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}$ es defineix com l'espai dual de l'espai tangent a $x$, $T_{x}{\mathcal {M}}$, tot i que hi ha definicions més directes (vegeu més avall). Els elements de l'espai cotangent s'anomenen vectors cotangents o covectors tangents.

Propietats

Tots els espais cotangents en punts d'una varietat connectada tenen la mateixa dimensió, igual a la dimensió de la varietat. Tots els espais cotangents d'una varietat es poden "enganxar" (és a dir, unir-se i dotar-se d'una topologia) per formar una nova varietat diferenciable de dues vegades la dimensió, el paquet cotangent de la varietat.

L'espai tangent i l'espai cotangent en un punt són espais vectorials reals de la mateixa dimensió i, per tant, isomòrfics entre si mitjançant molts isomorfismes possibles. La introducció d'una mètrica riemanniana o d'una forma simplèctica dóna lloc a un isomorfisme natural entre l'espai tangent i l'espai cotangent en un punt, associant a qualsevol covector tangent un vector tangent canònic.

Definicions formals

Definició com a funcionals lineals

Deixa ${\mathcal {M}}$ ser una varietat llisa i deixar $x$ ser un punt ${\mathcal {M}}$. Deixa $T_{x}{\mathcal {M}}$ sigui l'espai tangent a $x$. Aleshores l'espai cotangent a x es defineix com l'espai dual de $T_{x}{\mathcal {M}}$:

$T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=(T_{x}{\mathcal {M}})^{*}$

Concretament, els elements de l'espai cotangent són funcionals lineals $T_{x}{\mathcal {M}}$. És a dir, cada element $\alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}$ és un mapa lineal

$\alpha :T_{x}{\mathcal {M}}\to F$

on $F$ és el cos subjacent de l'espai vectorial que es considera, per exemple, el cos dels nombres reals. Els elements de $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}$ s'anomenen vectors cotangents.

Definició alternativa

En alguns casos, es podria agradar tenir una definició directa de l'espai cotangent sense fer referència a l'espai tangent. Aquesta definició es pot formular en termes de classes d'equivalència de funcions suaus ${\mathcal {M}}$. De manera informal, direm que dues funcions suaus f i g són equivalents en un punt $x$ si tenen el mateix comportament de primer ordre a prop $x$, anàloga als seus polinomis lineals de Taylor; dues funcions f i g tenen el mateix comportament de primer ordre a prop $x$ si i només si la derivada de la funció f − g s'esvaeix a $x$. L'espai cotangent consistirà llavors en tots els possibles comportaments de primer ordre d'una funció propera $x$.