Espai euclidià complex

En matemàtiques, l'espai euclidià complex, espai de coordenades complexes o espai complex n-dimensional) és el conjunt de totes les n-ples ordenades de nombres complexes. Es denota com $\mathbb {C} ^{n}$, i és una n-varietat resultat del producte cartesià del pla complex $\mathbb {C}$ aplicat sobres si mateix. Simbòlicament,

$\mathbb {C} ^{n}=\{(z_{1},\dots ,z_{n})|z_{i}\in \mathbb {C} \}$

o

$\mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \mathbb {C} \times \cdots \times \mathbb {C} } _{n}.$

Las variables $z_{i}$ són les coordenades (complexes) en l'espai n-complex.

L'espai de coordenades complexes és un espai vectorial sobre els nombres complexes, amb la suma per components i la multiplicació escalar. Les parts real i imaginària de les coordenades configures una bijecció de $\mathbb {C} ^{n}$ respecte a l'espai de coordenades real $\mathbb {R} ^{2n}$. Amb la topologia euclidiana estàndard, $\mathbb {C} ^{n}$ és un espai vectorial topològic sobre els nombres complexes.

Es diu que una funció en un subconjunt obert de l'n-espai complex és holomòrfica si és holomorfa en cada coordenada complexa per separat. L'anàlisi multivariable complexa és l'estudi de tals funcions holomòrfiques amb n variables. De manera més general, l'n-espai complex és l'espai destí dels sistemes de coordenades holomòrfiques en varietats complexes.

Bibliografia

• Robert Gunning & Hugo Rossi, Analytic functions of several complex variables