Expansió trinomial

En matemàtiques, una expansió trinomial és l'expansió d'una potència d'una suma de tres termes en monomis. L'expansió ve donada per

$(a+b+c)^{n}=\sum _{\stackrel {i,j,k}{i+j+k=n}}{n \choose i,j,k}\,a^{i}\,b^{\;\!j}\;\!c^{k},$

on n és un enter no negatiu i es suma la suma de totes les combinacions d'índexs no negatius i, j, i k tals que i + j + k = n . Els coeficients trinomials són donats per

${n \choose i,j,k}={\frac {n!}{i!\,j!\,k!}}\,.$

Aquesta fórmula és un cas especial de la fórmula multinomial per a m = 3. Els coeficients es poden definir amb una generalització del triangle de Pascal a tres dimensions, anomenada piràmide de Pascal o tetraedre de Pascal.

Propietats

El nombre de termes d'un trinomi expandit és el nombre triangular

$t_{n+1}={\frac {(n+2)(n+1)}{2}},$

on n és l'exponent al qual s'eleva el trinomi.

Exemple

Un exemple d 'una expansió trinomial amb $n=2$ és :

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

Vegeu també

• Expansió binomial
• Piràmide de Pascal
• Coeficient multinomial
• Triangle Trinomial