Extensió de cossos

En àlgebra, les extensions de cos són el problema fonamental de la teoria de cossos. Un cos és un conjunt en el qual les operacions suma i producte estan definides i "funcionen bé". Un dels motius de construir una extensió d'un cos és el de cercar un conjunt més gran en el qual les operacions suma i producte seguisquen funcionant bé i a més es puguen resoldre equacions polinòmiques que no es poden resoldre en el cos original.

Definició

Siga (K, +, ·) un cos. Un cos L és una extensió de K si K és un subcos de L, és a dir si (L,+,·) és un cos i (K,+,·) és un cos amb la restricció a K de les operacions + i · en L. Si L és extensió sobre K es denota L:K o L/K.

Extensió sobre un cos com espai vectorial sobre el cos

• Si L és una extensió de K, llavors L és un espai vectorial sobre K.

En efecte, l'addició de K serveix també d'addició en l'espai vectorial, i la multiplicació d'un element de K per un de L defineix el producte escalar de l'espai vectorial:

Per definició de cos, $(L,+)$ és grup abelià, i podem considerar el producte per escalars $\cdot :K\times L\longrightarrow L$ com una restricció a $K\times L$ del producte en $\cdot :L\times L\longrightarrow L$. D'esta manera és immediat que es compleix que:

• $a\cdot (\alpha +\beta )=(a\cdot \alpha )+(a\cdot \beta )$,

• $(a+b)\cdot \alpha =(a\cdot \alpha )+(b\cdot \alpha )$,

• $(a\cdot (b\cdot \alpha ))=(a\cdot b)\cdot \alpha$,

• $1\cdot \alpha =\alpha$,

qualssevol que siguen $a,b\in K$ i $\alpha ,\beta \in L$. Les dues primeres propietats són degudes a la distributivitat del producte respecte de la suma en $L$ i al fet que $K\subset L$; la tercera es deu al fet que el producte és associatiu en $L$, i la quarta es deu al fet que $K$ és subcòs de $L$, per la qual cosa l'element unitat de $L$ és l'element unitat de $K$.

Extensió simple

El conjunt $K(\alpha ):=\left\{{\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}:f,g\in K[x]\right\}$. Este conjunt és un cos, és extensió de $K$, és subcòs de $L$, i de fet és la menor extensió de $K$ que conté a $\alpha$. Se li denomina extensió generada per α sobre $K$.

Extensions algebraiques i transcendents

Teorema de Kronecker

Article principal: Teorema de Kronecker

Siga $K$ un cos i $p\in K[x]$ un polinomi irreductible, llavors existeix alguna extensió $L:K$ de manera que $p$ té alguna arrel en $L$.

Homomorfisme avaluació

L'aplicació $\beta :K[x]\longrightarrow K(\alpha )$ que a cada polinomi $p(x)\in K[x]$ li fa correspondre la seua avaluació en $\alpha$, i.e., $\beta (p)=p(\alpha )$. Esta aplicació és de fet un isomorfisme d'anells commutatius i unitaris, i se denomina homomorfisme avaluació.

Extensió algebraica

Article principal: Extensió algebraica

Una extensió $L:K$ se diu que és algebraica si tot element $\alpha \in L$ és algebraic sobre $K$.

Elements algebraics

Article principal: Element algebraic

Suposem que existeix algun polinomi $p\in K[x]$ que té a $\alpha$ per arrel.

En esta situació ($\operatorname {Ker} (\beta )\neq \{0\}$, o equivalentment, existeix algun $p\in K[x]$ irreductible con ${\frac {K[x]}{(p)}}\cong K(\alpha )$) se diu que $\alpha$ és algebraic sobre $K$.

Un element és llavors algebraic sobre un cos si i només si és arrel d'algun polinomi a coeficients en aquest cos.

Polinomi mònic irreductible

Si $\alpha$ és un element algebraic sobre el cos $K$ de manera que $\alpha \notin K$, el polinomi $p$ que genera al nucli de l'aplicació avaluació (i.e., $\operatorname {Ker} \beta =(p)$) és irreductible. Dividint $p$ pel seu coeficient principal (aquell escalar que multiplica a la potència més gran de la variable $x$) s'obté un polinomi mònic (és a dir, de manera que el seu coeficient principal es la unitat), que se denota per $m_{\alpha }^{K}$ i se denomina polinomi mònic irreductible de $\alpha$ respecte de $K$.

Clarament, $K(\alpha )\cong {\frac {K[x]}{(m_{\alpha }^{K})}}$.

Extensió transcendent

Una extensió $L:K$ se diu que és transcendent si existeix algun element $\alpha \in L$ que siga transcendent sobre $K$.

Elements transcendents

Si el Ker$(\beta )=\{0\}$, serà $\beta$ un monomorfisme. En eixe cas, $K(x)$ és isomorf a $K(\alpha )$.

Se dirà que l'element $\alpha$ és transcendent sobre $K$ i que $K(\alpha )$ és una extensió transcendent sobre $K$. A més, no existirà cap polinomi amb coeficients en $K$ que tinga per arrel a $\alpha$ (és a dir, si $p\in K[x]$, llavors $p(\alpha )\neq 0$).

Grau d'una extensió

Com que tot espai vectorial té base, podem calcular la dimensió de $L$ com espai vectorial sobre $K$, denotat per $\operatorname {dim} _{K}(L)$. Es denomina grau de l'extensió $L:K$ a la dimensió de $L$ com $K$-espai vectorial: $[L:K]=\operatorname {dim} _{K}(L)$.

Prenguem diversos exemples:

K = Q, el cos dels racionals, i L = R, el dels reals. Les arrels dels enters primers (√2, √3, √5, √7…) són linealment independents sobre Q, el que implica que R vist com a espai vectorial sobre Q, és de dimensió infinita. Altra manera d'obtenir este resultat és considerar els nombres e, e²,e³... on el nombre e és la base dels logaritmes neperians. Com que e és transcendent, no existeix cap polinomi no nul P tal que P(e) = 0, cosa que significa que 1, e, e², e³ ... són linealment independents. D'ací la dimensió infinita.

El resultat no sorprèn si es considera els cardinals d'ambdós conjunts: si la dimensió de R sobre Q fóra finita, R seria isomorf a Qⁿ, el que no és possible perquè el cardinal de Qⁿ és el mateix que el de Q (igual al de N, aleph₀) que és estrictament inferior al de R.

K = Q, el cos dels racionals, i L = Q(√2), el menor cos que conté al mateix temps Q i √2. L és també el conjunt dels P(√2), on P és qualsevol polinomi amb coeficients en Q. Reagrupant els monomis de potències parells per una part, i imparells per l'altra, de P(√2), se veu que els elements de Q(√2) són els nombres de la forma a+b√2, amb a i b racionals. Per tant (1, √2) és una base de L vist com a espai vectorial sobre K, el que significa que la seua dimensió és 2. S'ha de relacionar esta dimensió al fet que √2 és arrel d'un polinomi de segon grau.

Se pot generalitzar: Si α és una arrel d'un polinomi irreductible (sobre Q) de grau n, aleshores Q(α) és una extensió de dimensió n sobre Q.

Bibliografia

• Chibeti, S.; Kyapwanyama, I.; Phiri, H.M.; Kalunga, J. «An Introduction to the Theory of Field Extensions» (PDF) (en anglès). Advances in Pure Mathematics, 13, 2023, pàg. 103-132. Arxivat de l'original el 15 de març 2023. DOI: 10.4236/apm.2023.132006 [Consulta: 28 gener 2024].