Fórmula d'Euler-Maclaurin

En matemàtica, la fórmula d'Euler-Maclaurin estableix la relació entre sumatori de sèries i integrals. Pot ser usada per aproximar integrals per sumes finites o, de forma inversa, per a evaluar series (finites o infinites) resolent integrals.

La fórmula va ser descoberta independentment per Leonhard Euler i Colin Maclaurin el 1735. Euler va fer servir aquesta fórmula per calcular valors de sèries infinites amb convergència lenta i Maclaurin la va utilitzar per calcular integrals.

La fórmula

Si x és un nombre real i $f(x)$ és una funció suau (suficientement derivable) definida $\forall x\in [0,n]$, aleshores, la integral

$I=\int _{0}^{n}f(x)\,dx$

es pot aproximar amb la suma:

$S={\frac {f\left(0\right)}{2}}+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {f\left(n\right)}{2}}={\frac {f\left(0\right)+f\left(n\right)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)$

(veure regla del trapezi). La formula d'Euler-Maclaurin ens dona la diferència entre al suma i la intgral en funció de derivades de $f(x)$ en els extrems de l'interval d'integració (0 i n). Per a cualsevol enter positiu p, es compleix:

$S-I=\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left(f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right)+R$

On $B_{n}$ són els nombres de Bernoulli i R és una estimació de l'error normalment petit.

Realizant un canvi de variable en l'integral, es pot modificar aquesta fórmula per a funcions $f(x)$ definides en altres intervals de la recta real.

El terme d'error

El término de error R es:

$R=(-1)^{p}\int _{0}^{n}f^{(p+1)}(x){B_{p+1}(x-\lfloor x\rfloor ) \over (p+1)!}\,dx,$

On $B_{i}(x-\lfloor x\rfloor )$ són els polinomis de Bernoulli periòdics. El terme d'error es pot acotar amb:

$\left|R\right|\leq {\frac {2}{(2\pi )^{2p}}}\int _{0}^{n}\left|f^{(p+1)}(x)\right|\,dx.$