Fórmula de Kubo

La fórmula de Kubo, que rep el seu nom del físic-matemàtic Ryogo Kubo qui va presentar la fórmula per primera vegada el 1957, és una equació que expressa la resposta lineal d'una magnitud observable a causa d'una pertorbació depenent del temps.

Entre les nombroses aplicacions de la fórmula de Kubo es poden mencionar els càlculs de les susceptibilitats de càrrega i spin dels sistemes d'electrons en resposta als camps elèctrics i magnètics aplicats, així com les respostes a forces i vibracions mecàniques externes.

Fórmula general de Kubo

Considerem un sistema quàntic descrit pel Hamiltonià (independent del temps) $H_{0}$. El valor esperat d'una magnitud física a la temperatura d'equilibri $T$, descrit per l'operador ${\hat {A}}$, es pot avaluar via:

$\left\langle {\hat {A}}\right\rangle ={1 \over Z_{0}}\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A}}\right]={1 \over Z_{0}}\sum _{n}\left\langle n\left|{\hat {A}}\right|n\right\rangle e^{-\beta E_{n}}$ ,

on $\beta =1/k_{\rm {B}}T$ és la temperatura inversa, ${\hat {\rho }}_{0}$ és l'operador de densitat, donat per

${\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e^{-\beta E_{n}}$

i $Z_{0}=\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}_{0}\right]$ és la funció de partició.

Suposem ara que al cap d'un temps $t=t_{0}$ s'aplica una pertorbació externa al sistema. La pertorbació es descriu per una dependència temporal addicional al Hamiltonià:

${\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),$

on $\theta (t)$ és la funció de Heaviside (1 per a temps positius, 0 en cas contrari) i ${\hat {V}}(t)$ és hermítica i es defineix per a tot temps t, de manera que ${\hat {H}}(t)$ té (per $t-t_{0}$ positius) de nou un conjunt complet de valors propis reals $E_{n}(t)$, que poden canviar amb el temps.

Tanmateix, es pot obtenir l'evolució temporal de la matriu de densitat ${\hat {\rho }}(t)$ respecte de la funció de partició $Z(t)=\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}(t)\right],$ tot avaluant el valor d'expectació següent

$\left\langle {\hat {A}}\right\rangle ={\frac {\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}(t)\,{\hat {A}}\right]}{\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}(t)\right]}}.$

En la imatge de Schrödinger, la dependència temporal dels estats $|n(t)\rangle$ es regeix per l'equació de Schrödinger

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|n(t)\rangle ={\hat {H}}(t)|n(t)\rangle .$

Com que ${\hat {V}}(t)$ s'ha de considerar com una petita pertorbació, és convenient utilitzar la representació de la imatge d'interacció, $\left|{\hat {n}}(t)\right\rangle ,$ en l'ordre no trivial més baix. La dependència temporal en aquesta representació ve donada per $|n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }\left|{\hat {n}}(t)\right\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\hat {U}}(t,t_{0})\left|{\hat {n}}(t_{0})\right\rangle ,$ on per definició per a tots els t i $t_{0}$ és: $\left|{\hat {n}}(t_{0})\right\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}/\hbar }|n(t_{0})\rangle$

En l'ordre lineal a ${\hat {V}}(t)$, tenim

${\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}$ .

Així s'obté el valor d'expectació d'${\hat {A}}(t)$ a l'ordre lineal en la pertorbació:

$\left\langle {\hat {A}}(t)\right\rangle =\left\langle {\hat {A}}\right\rangle _{0}-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'{1 \over Z_{0}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\left\langle n(t_{0})\left|{\hat {A}}(t){\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}-{\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}{\hat {A}}(t)\right|n(t_{0})\right\rangle$ ,

que es pot escriure de forma general com a

$\langle {\hat {A}}(t)\rangle =\left\langle {\hat {A}}\right\rangle _{0}-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\left\langle \left[{\hat {A}}(t),{\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}\right]\right\rangle _{0}$

Els parèntesis $\langle \rangle _{0}$ indiquen una mitjana d'equilibri respecte al Hamiltonià $H_{0}.$ Per tant, tot i que el resultat és a primer ordre en la pertorbació, implica només les funcions pròpies d'ordre zero, que sol ser el cas en la teoria de la pertorbació i allunya totes les complicacions que d'altra manera podrien sorgir per $t>t_{0}$ .

L'expressió anterior és certa per a qualsevol tipus d'operadors. (Vegeu també Segona quantització).