Fórmula de Sylvester

En teoria de matrius, la fórmula de Sylvester o teorema de matrius de Sylvester (en honor del matemàtic anglès J. J. Sylvester) o la interpolació de Lagrange−Sylvester expressa una funció analítica f(A) d'una matriu A com el polinomi en A, en termes dels valors propis i vectors propis de A. Diu el següent

$f(A)=\sum _{i=1}^{k}f(\lambda _{i})~A_{i}~,$

on les λ_i són els valors propis de A, i les matrius

$A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}(A-\lambda _{j}I)$

són els covariants de Frobenius corresponents a A, que són la matriu (projecció) dels polinomis de Lagrange de A.

Condicions

La fórmula de Sylvester es pot aplicar en matrius diagonalitzables A amb k valors propis diferents, λ₁, …, λ_k, i amb qualsevol funció f definida en algun subconjunt dels nombres complexos tal que f(A) estigui ben definida. Aquesta darrera condició signfica que tot valor propi λ_i es troba en el domini de f, i que tot valor propi λ_i amb multiplicitat m_i > 1 es troba a l'interior del domini, sent f (m_i — 1) vegades diferenciable en λ_i.

Exemple

Consideri's la matriu 2 per 2

$A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.$

Aquesta matriu té 2 valors propis: 5 i −2. Els seus covariants de Frobenius són

${\begin{aligned}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3/7&3/7\\4/7&4/7\end{bmatrix}}={\frac {A+2I}{5-(-2)}}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}1/7\\-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4/7&-3/7\\-4/7&3/7\end{bmatrix}}={\frac {A-5I}{-2-5}}.\end{aligned}}$

La fórmula de Sylvester és doncs

$f(A)=f(5)A_{1}+f(-2)A_{2}.\,$

Per exemple, si f és definit com f(x) = x⁻¹, llavors la fórmula de Sylvester expressa la inversa de la matriu f(A) = A⁻¹ com

${\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}3/7&3/7\\4/7&4/7\end{bmatrix}}-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}4/7&-3/7\\-4/7&3/7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.2&0.3\\0.4&-0.1\end{bmatrix}}.$

Generalització

La fórmula de Sylvester només és vàlida per matrius diagonalitzables. Una extensió atribuïda a A. Buchheim, basada en polinomis d'interpolació de Hermite, cobreix el cas general:

$f(A)=\sum _{i=1}^{s}\left[\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {1}{j!}}\phi _{i}^{(j)}(\lambda _{i})(A-\lambda _{i}I)^{j}\prod _{j=1,j\neq i}^{s}(A-\lambda _{j}I)^{n_{j}}\right]$,

on $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}(t-\lambda _{j})^{n_{j}}$.

Schwerdtfeger va donar-ne una forma concisa

$f(A)=\sum _{i=1}^{s}A_{i}\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {f^{(j)}(\lambda _{i})}{j!}}(A-\lambda _{i}I)^{j}$,

on A_i són els covariants de Frobenius corresponents a A

Vegeu també

• Matriu d'adjunts
• Càlcul funcional holomorf
• Resolvent

Bibliografia

• F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices v I (Chelsea Publishing, NY, 1960) ISBN 0-8218-1376-5, pp 101-103
• Higham, Nicholas J. Functions of matrices: theory and computation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2008. ISBN 9780898717778. OCLC 693957820. 
• Merzbacher, E «Matrix methods in quantum mechanics». Am. J. Phys., 36, 9, 1968, pàg. 814–821. DOI: 10.1119/1.1975154.