Factorió

Una factorió és un nombre natural que equival a la suma dels factorials dels seus dígits. Per exemple, $145$ és una factorió perquè $1!+4!+5!=1+24+120=145$.

Només hi ha quatre factorions (en base 10) i són $1$, $2$, $145$ i $40.585$ (successió A014080 a l'OEIS).

«Factorió» és un terme creat per Clifford A. Pickover, autor del llibre Keys to Infinity, al capítol 22 del llibre titulat The Loneliness of Factorions (La solitud dels factorions).

Límit superior (en base 10)

Si $n$ és un nombre natural de $d$ dígits que és un factorió, llavors $10^{d-1}\leq n\leq 9!d$. Això no es manté per $d\geq 8$, per tant, $n$ té com a màxim set dígits, i el primer límit superior és $9.999.999$.

Però la suma màxima dels factorials dels dígits per a un número de set dígits és $9!\times 7=2.540.160$, que estableix el segon límit superior.

Anar més enllà, ja que no hi ha cap número més gran que $2.540.160$, el primer dígit d'un número de set dígits pot ser com a màxim $2$. Per tant, només sis posicions poden variar entre $9$ i $2!+6\times 9!=2.177.282$, que es converteix en un tercer límit superior.

Això implica que si $n$ és un número de set dígits, el segon dígit és $0$ o $1$ o el primer dígit és $1$. Si el primer dígit és $2$ i, per tant, el segon dígit és $0$ o $1$, els nombres estan limitats per $2!+1!+5\times 9!=1.814.403$, una contradicció amb el primer dígit que és $2$. Així, un número de set dígits pot ser com a màxim $1.999.999$, establint el nostre quart límit superior.

Tots els factorials dels dígits, com a mínim $5$, tenen els factors $5$ i $2$ i, per tant, finalitzen en $0$. Fem que $1abcdef$ denoti el nostre número de set dígits. Si tots els dígits $abcdef$ són almenys $5$, la suma dels factorials (que se suposa que és igual a $1abcdef$) finalitzarà en $1$ (que ve del $1$ al principi). Aquesta és una contradicció amb la suposició que $f$ sigui almenys $5$. Així, almenys un dels dígits $abcdef$ pot ser com a màxim $4$, que estableix $1!+4!+5\times 9!=1.814.425$ com el cinquè límit superior.

Suposant que $n$ és un nombre de set dígits, el segon dígit és com a màxim $8$. Hi ha dos casos, si $a$ és almenys $5$, pel mateix argument que un dels dígits restants, $bf$ ha de ser com a màxim $4$. Això implica un límit superior (ja que un és com a màxim $8$) d'$1!+8!+4!+4\times 9!=1.491.865$, una contradicció amb un que sigui almenys $5$. Així, $a$ és com a màxim $4$ i el sisè límit superior és $1.499.999$.

Un ordinador pot comprovar tots els números de $40.585$ a $1.499.999$, verificant que $40.585$ és el factorió més gran de la base 10.

Altres bases

Si la definició s'amplia per incloure altres bases, hi ha un nombre infinit de factorions. Per veure això, s'ha de tenir en compte que per a qualsevol nombre enter $n>3$ els nombres $n!+1$ i $n!+2$ són factorions en base $(n-1)!$, en què es denoten les cadenes de dos dígits «n1» i «n2». Per exemple, 25 i 26 són factorions a la base 6, en què es denoten per 41₍₆₎ i 42₍₆₎; 121 i 122 són factoions en la base 24, en què es denoten per 51₍₂₄₎ i 52₍₂₄₎.

Per a $n>2$, $n!+1$ també és un factorió a la base $n!-n+1$, en què es denota mitjançant la cadena de 2 dígits «1n». Per exemple, 25 és una factorió en la base 21, en què es denota 14₍₂₁₎; 121 és una factorió en la base 116, en la qual es denota 15₍₁₁₆₎.

Tots els enters positius són factorions en la base 1. $1$ i $2$ són factorions en cada base.

La següent taula recull tots els factorions en bases fins a la base 16. (successió A193163 a l'OEIS)

Base	Nombre màxim de dígits	Factorions (en base n)
1	Tots els nombres enters positius	1, 11, 111, 1111,...
2	2	1, 10
3	2	1, 2
4	3	1, 2, 13
5	3	1, 2, 144
6	4	1, 2, 41, 42
7	5	1, 2
8	5	1, 2
9	6	1, 2, 62558
10	7	1, 2, 145, 40585
11	8	1, 2, 24, 44, 28453
12	8	1, 2
13	9	1, 2, 83790C5B
14	10	1, 2, 8B0DD409C
15	11	1, 2, 661, 662
16	11	1, 2, 260F3B66BF9

Referències

• Factorió a Wolfram MathWorld (anglès)

Bibliografia

• Poole, George D. Integers and the Sum of the Factorials of Their Digits (en anglès). 44. Mathematics Magazine, Novembre de 1971, p. 278-279. 
• Gadner, Martin. Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American (en anglès). Nova York: Vintage, 1978, p. Capítol 4: Factorial Oddities. 
• Madachy, Joseph S. Madachy's Mathematical Recreations (en anglès), 1979, p. 167. 
• Pickover, Clifford A. Keys to Infinity (en anglès). John Wiley & Sons, 1995, p. Capítol 22: The Loneliness of the Factorions. 
• Weisstein, Eric W. Factorion (en anglès). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Chapman & Hall/CRC, 1999.