Funció d'Heun

En matemàtiques, la funció d'Heun local H⁢ℓ(a,q;α,β,γ,δ;z) (Karl L. W. Heun (1889)) és la solució de l'equació diferencial d'Heun que és holomorfa i 1 en el punt singular z = 0. La funció d'Heun local s'anomena funció d'Heun (denotat Hf), si també és regular en z = 1, i s'anomena polinomi d'Heun (denotat Hp) si és regular en els tres punts singulars finits z = 0, 1, a.

Equació d'Heun

L'equació de Heun és una equació diferencial ordinària (EDO) lineal de segon ordre de la forma

${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0.$

La condició $\epsilon =\alpha +\beta -\gamma -\delta +1$ és necessari per assegurar la regularitat del punt a ∞.

El nombre complex q s'anomena «paràmetre accessori». L'equació de Heun té quatre punts singulars regulars: 0, 1, a i ∞ amb exponents (0, 1 − γ), (0, 1 − δ), (0, 1 − ϵ), and (α, β). Cada EDO lineal de segon ordre del pla complex ampliat amb com a màxim quatre punts singulars regulars, com ara l'equació de Lamé o l'equació diferencial hipergeomètrica, es pot transformar en aquesta equació mitjançant un canvi de variable.

q-anàleg

El q-anàleg de l'equacuó d'Heun va ser descoberta per Hahn (1971) i estudiada per Takemura (2017).

Simetries

L'equació d'Heun té un grup de simetries d’ordre 192, isomòrfiques al grup de Coxeter del diagrama de Coxeter D₄, anàlogues a les 24 simetries de les equacions diferencials hipergeomètriques obtingudes per Kummer. Les simetries que fixen la funció d'Heun local formen un grup isomòrfic d'ordre 24 al grup simètric de 4 punts, de manera que hi ha 192/24 = 8 = 2 × 4 solucions essencialment diferents donades en actuar sobre la funció d'Heun local per aquestes simetries, que donen solucions per a cadascun dels dos exponents per a cadascun dels quatre punts singulars. La llista completa de les 192 simetries va ser donada per Maier (2007) mitjançant càlcul amb màquines. Diversos intents anteriors de diversos autors de llistar-los a mà contenien molts errors i omissions; per exemple, la majoria de les 48 solucions locals enumerades per Heun contenen greus errors.

Referències

• Erdélyi, A.; Oberhettinger, F.; Magnus, W.; Tricomi, F. Higher Transcendental functions ( PDF) (en anglès). 3. Nova York: McGraw-Hill, 1953.  Arxivat 2011-07-14 a Wayback Machine.
• Forsyth, Andrew Russell. Theory of differential equations. 4. Ordinary linear equations (en anglès). New York: Dover Publications. 
• Hahn, W. On linear geometric difference equations with accessory parameters (en anglès). Funkcial. Ekvac, 1971, p. 14, 73–78. 
• Heun, Karl «Zur Theorie der Riemann'schen Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten» (en alemany). Mathematische Annalen, 33(2), 1889. DOI: 10.1007/bf01443849.
• Maier, Robert S. «The 192 solutions of the Heun equation» (en anglès). Mathematics of Computation, 76(258), 2007, pàg. 811–843. arXiv: math/0408317. Bibcode: 2007MaCom..76..811M. DOI: 10.1090/S0025-5718-06-01939-9.
• Ronveaux, A. Heun's differential equations (en anglès). The Clarendon Press Oxford University Press, 1995 (Oxford Science Publications). ISBN 978-0-19-859695-0. 
• Takemura, K. «Degenerations of Ruijsenaars–van Diejen operator and q-Painlevé equations» (en anglès). Journal of Integrable Systems, 2(1). arXiv: 1608.07265. DOI: 10.1093/integr/xyx008.
• Valent, Galliano. «Heun functions versus elliptic functions». A: Difference equations, special functions and orthogonal polynomials (en anglès). Hackensack, NJ: World Sci. Publ., 2007, p. 664–686. DOI 10.1142/9789812770752_0057. ISBN 978-981-270-643-0. 

Vegeu també

• Polinomis d'Heine–Stieltjes, una generalització dels polinomis d'Heun.