Funció eta de Dirichlet

Funció eta de Dirichlet $\eta (s)$ al pla complex. El color en un punt $s$ codifica el valor de $\eta (s)$. Colors forts denoten valors pròxims a zero i el to codifica el valor de l'argument.

En matemàtiques la funció eta de Dirichlet es defineix com

$\eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)$

on ζ és la funció zeta de Riemann. Malgrat tot, també pot ser usada per definir la funció zeta. Té una expressió a la sèrie de Dirichlet, vàlida per a tot nombre complex s amb part real positiva, donat per

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}.$

Si bé aquesta és convergent només per s amb part real positiva és sumable Abel per tot nombre complex, que permet definir la funció eta com una funció completa, i mostra que la funció zeta és meromòrfica amb un pol simple a s = 1.

En forma equivalent es pot definir

$\eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\exp(x)+1}}{\frac {dx}{x}}$

a la regió de part real positiva.

Bibliografia

• Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function Arxivat 2007-02-21 a Wayback Machine., Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
• Xavier Gourdon and Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, Numbers, constants and computation (2003)
• Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/
• Knopp, Konrad. Theory and Application of Infinite Series. Dover, 1990. ISBN 0-486-66165-2.