Funció zeta de Lefschetz

En matemàtiques, la funció zeta de Lefschetz és una eina utilitzada en topologia periòdica, en la teoria del punt fix, i en sistemes dinàmics.

Donat un mapatge $f$ , la funció zeta de Lefschetz es defineix per la sèrie

\zeta _{f}(z)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }L(f^{n}){\frac {z^{n}}{n}}\right),

on $L(f^{n})$ és el nombre de Lefschetz de la $n$ -iterada de $f$ .

Aquesta funció zeta és important en la teoria topològica periòdica perquè és un invariant singular conté informació sobre totes les iterades de $f$ .

Exemples

El mapa d'identitat en $X$ posseeix la següent funció zeta de Lefschetz:

{\frac {1}{(1-t)^{\chi (X)}}},

on $\chi (X)$ és la característica d'Euler de $X$ , és a dir, el nombre de Lefschetz del mapa d'identitat.

Un exemple menys trivial és el següent. Si es considera com a espai el cercle unitari ( $X=S^{1}$ ) i sigui $f$ la seva reflexió en l'eix $x$ , o expressat d'una altra manera $f(\theta )=-\theta$ , llavors $f$ posseeix un nombre de Lefschetz igual a $2$ , i $f^{2}$ és el mapa d'identitat, que té per nombre de Lefschetz el $0$ . Totes les iterades senars posseeixen un nombre de Lefschetz igual a $2$ , i totes les iterades parelles posseeixen un nombre de Lefschetz igual a $0$ . Per tant la funció zeta de $f$ és

{\begin{aligned}\zeta _{f}(t)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2t^{2n+1}}{2n+1}}\right)\\&=\exp \left(\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\right\}-\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{2n}}\right\}\right)\\&=\exp \left(-2\log(1-t)+\log(1-t^{2})\right)\\&={\frac {1-t^{2}}{(1-t)^{2}}}\\&={\frac {1+t}{1-t}}\end{aligned}}

Fórmula

Si $f$ és un mapa continu en una varietat compacta $X$ de dimensió $n$ (o en forma més general tot poliedre compacte), la funció zeta Lefschetz queda expressada per la fórmula

\zeta _{f}(t)=\prod _{i=0}^{n}\det(1-tf_{\ast }|H_{i}(X,\mathbf {Q} ))^{(-1)^{i+1}}.

La qual és una funció racional. Els polinomis del numerador i del denominador són essencialment els polinomis característics del mapa induït per $f$ en els diversos espais homòlegs.

Connexions

Aquesta funció generatriu és essencialment una forma algebraica de la funció zeta d'Artin-Mazur, la qual proveeix informació geomètrica sobre els punts fixos i periòdics de $f$ .

Referències

Fel'shtyn, Alexander. Dynamical Zeta-Functions, Nielsen Theory and Reidemeister Torsion (en anglès), 1996. arXiv: chao-dyn/9603017

Vegeu també