Funció de Struve modificada

En matemàtiques, les funcions de Struve modificades són funcions especials estretament relacionades amb les funcions de Struve i les funcions esfèriques de Bessel modificades.

Es tracta de la funció

$\mathbf {L} _{\nu }(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu +1}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {({\frac {z}{2}})^{2k}}{\Gamma (k+{\frac {3}{2}})\Gamma (\nu +k+{\frac {3}{2}})}}={\frac {2\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (\nu +1/2)}}\int _{0}^{\pi /2}\sinh(z\cos \theta )\sin ^{2\nu }\theta d\theta$

En particular

$\mathbf {L} _{0}(z)={\frac {2}{\pi }}\,z\,\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {z}{2j+1}}\right)^{2}\right]$

$\mathbf {L} _{1}(z)={\frac {2}{\pi }}\,\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{j=1}^{k}{\frac {z^{2}}{4j^{2}-1}}$

on $\Gamma (z)$ és la funció gamma. Es vinculen amb les funcions normals de Struve $\mathbf {H} _{\nu }(iz)$amb la relació:

$\mathbf {L} _{\nu }(z):=-ie^{-i\nu \pi /2}\mathbf {H} _{\nu }(iz)$

Bibliografia

• Luke, Y. L.. Integrals of Bessel functions (en anglès). McGraw-Hill, 1962. 
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann. «Capítol 12». A: Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (en anglès), 1972. 
• Zhang, Shanjie; Jin, Jianming. «Capítol 11». A: Computation of Special functions (en anglès). J.Wiley, 1996. 
• Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; Brychkov, Yu. A.. «§1.4 in Integrals and Series». A: The Struve Functions H_ν(x) and L_ν(x) (en anglès). 3: More Special Functions. Gordon and Breach, 1990, p. 24-27.