Funció de Struve

En matemàtiques, les funcions de Struve, denotat com $H α (x)$ , són solucions $y (x)$ de l'equació diferencial no homogènia de Bessel:

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y={\frac {4\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}

presentat per Hermann Struve (1882). El nombre complex α és l'ordre de la funció Struve i és sovint un enter. Les funcions de Struve modificades, denotades com $L α (x)$ , són iguals a $- ie - iαπ / 2 H α (ix)$ .

Definició

Atès que es tracta d'una equació no homogènia, les solucions es poden construir a partir d'una única solució particular afegint les solucions del problema homogeni. En aquest cas, les solucions homogènies són les funcions de Bessel, i la solució particular es pot triar com la funció Struve corresponent.

Desenvolupament en sèries de potències

Les funcions de Struve, denotades com $H α (z)$ , tenen la forma en sèrie de potències

\mathbf {H} _{\alpha }(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{\Gamma \left(m+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(m+\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2m+\alpha +1},

on $Γ(z)$ és la funció gamma.

Les funcions de Struve modificades, denotades com $L ν (z)$ , tenen la següent forma en de sèrie de potències

\mathbf {L} _{\nu }(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu +1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {3}{2}}+k\right)\Gamma \left({\frac {3}{2}}+k+\nu \right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k}.

Forma integral

Una altra definició de la funció Struve, per als valors de $α$ satisfent $Re(α) > - 1 / 2$ , és possible utilitzant una representació integral:

\mathbf {H} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }(\tau )\,d\tau .

Altres formes

Per a $x$ petit, el desenvolupament en sèries de potències es dona en l'apartat anterior.

Per a $x$ grans, s'obté:

\mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha -1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}+O\left(\left({\tfrac {x}{2}}\right)^{\alpha -3}\right),

on $Y α (x)$ és la funció de Neumann.

Propietats

Les funcions de Struve satisfan les següents relacions de recurrència:

{\begin{aligned}\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)+\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}\mathbf {H} _{\alpha }(x)+{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}},\\\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)-\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}\left(\mathbf {H} _{\alpha }(x)\right)-{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}.\end{aligned}}

Relació amb altres funcions

Les funcions de Struve de l'ordre enter es poden expressar en funció de les funcions de Weber $E n$ i viceversa; si $n$ és un enter no-negatiu llavors

{\begin{aligned}\mathbf {E} _{n}(z)&={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {\Gamma \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {z}{2}}\right)^{n-2k-1}}{\Gamma \left(n-k+{\frac {1}{2}}\right)}}-\mathbf {H} _{n}(z),\\\mathbf {E} _{-n}(z)&={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {\Gamma (n-k-{\frac {1}{2}})\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n+2k+1}}{\Gamma \left(k+{\frac {3}{2}}\right)}}-\mathbf {H} _{-n}(z).\end{aligned}}

Funcions de Struve d'ordre $n + 1 / 2$ , on $n$ és un enter, es pot expressar en termes de funcions elementals. En particular, si $n$ és un enter no-negatiu, llavors

\mathbf {H} _{-n-{\frac {1}{2}}}(z)=(-1)^{n}J_{n+{\frac {1}{2}}}(z),

on el costat dret és una funció esfèrica de Bessel.

Les funcions de Struve (de qualsevol ordre) es poden expressar en termes de la funció hipergeomètrica generalitzada $1 F ₂$ (que no és la funció hipergeomètrica de Gauss $₂ F 1$ ):

\mathbf {H} _{\alpha }(z)={\frac {z^{\alpha +1}}{2^{\alpha }{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\tfrac {3}{2}}\right)}}{}_{1}F_{2}\left(1,{\tfrac {3}{2}},\alpha +{\tfrac {3}{2}},-{\tfrac {z^{2}}{4}}\right).

Referències

Aarts, R. M.; Janssen, Augustus J. E. M. «Approximation of the Struve function H₁ occurring in impedance calculations» (en anglès). J. Acoust. Soc. Am., 113, 5, 2003, pàg. 2635–2637. Bibcode: 2003ASAJ..113.2635A. DOI: 10.1121/1.1564019. PMID: 12765381.
Aarts, R. M.; Janssen, Augustus J. E. M. «Efficient approximation of the Struve functions H_n occurring in the calculation of sound radiation quantities» (en anglès). J. Acoust. Soc. Am., 6, 2016, pàg. 4154–4160. Bibcode: 2016ASAJ..140.4154A. DOI: 10.1121/1.4968792. PMID: 28040027.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [juny 1964]. Chapter 12. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (desembre 1972); 1a ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 496. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
Ivanov, A. B. (2001) [1994], S/s090700, en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Paris, R. B. (2010), Struve function, en Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR 2723248
Struve, H. «Beitrag zur Theorie der Diffraction an Fernröhren» (en alemany). Annalen der Physik und Chemie, 17.13, 1882, pàg. 1008–1016. Bibcode: 1882AnP...253.1008S. DOI: 10.1002/andp.18822531319.

Vegeu també

Enllaços externs

Struve functions a the Wolfram functions site (anglès).