Grup lineal general

En matemàtiques, el grup lineal general de mida n sobre un cos K o un anell A és el conjunt de les matrius invertibles quadrades de mida n×n amb coeficients a K o A amb l'operació de composició o multiplicació de matrius usual. És un grup que es denota GL(n,A) o GL_n(A).

La composició o multiplicació de dues matrius A i B és:

$(AB)_{i,j}=\sum _{r=1}^{n}A_{i,r}B_{r,j}$

on $A_{i,j}$ indica les coordenades de A a la casella i,j.

El grup lineal és grup en tant que:

• La composició és associativa.
• Existeix l'element neutre (la matriu identitat d'ordre n).
• La composició de matrius invertibles és una matriu invertible, que pertany al grup lineal.

Relació amb altres estructures algebraiques

L'existència d'isomorfismes entre el grup lineal general i altres estructures algebraiques, així com l'existència de subgrups, ens permet analitzar i resoldre analíticament, fent servir nombres, gran quantitat de problemes, així com entendre millor aquestes estructures.

Espais vectorials

El conjunts dels automorfismes d'un espai vectorial V de dimensió finita n sobre un cos K és isomorf al GL(n,K), i que molt sovint es denota directament GL(V). Aquest isomorfisme no és natural perquè cal escollir una base que ens permet associar a cada automorfisme una matriu invertible.

Subgrups

Grup lineal especial

El grup especial lineal d'ordre n, que denotem SL(n,A), és el conjunt de les matrius amb determinant 1 amb la composició. SL(n,A) és un subgrup normal de GL(n,A).

Subgrup diagonal

El conjunt de les matrius diagonals de rang n és un subgrup de GL(n,A). Pot subdividir-se en més subgrups com ara les matrius escalars (múltiples per un escalar de la matriu identitat.

Grups clàssics

Els anomenats grups clàssics són subgrups de GL(n,A) que es caracteritzen per poder representar algun tipus d'aplicació que conserva una forma bilineal o hermítica com ara els productes escalars o unitaris:

• Grup ortogonal, O(V), que conserva formes quadràtiques no degenerades a V. En particular, pot representar aplicacions que conserven el producte escalar.
• Grup simplèctic, Sp(V), que conserva formes simplèctiques a V (forma alternada no degenerada),
• Grup unitari, U(V), que quan V és un espai vectorial sobre el cos dels complexos, conserva una forma hermítica no degenerada a V.