Identitat de Cassini
En matemàtiques, la identitat de Cassini és la fórmula que relaciona el quadrat d'un nombre de Fibonacci amb el producte dels seus anterior i posterior. Rep el nom de l'astrònom Giovanni Cassini que la va formular entorn de 1680.[1] L'any 1753, el matemàtic escocès Robert Simson en va proporcionar una demostració.[2] L'any 1886, el matemàtic francès Eugène Catalan en va fer una generalització.
Descripció
[modifica]Giovanni Cassini es va donar compte que la diferència entre el quadrat de qualsevol nombre de Fibonacci i el producte dels seus antecessor i successor era sempre la unitat, tot i que anava canviant de signe en cada pas:[3]
| n | Diferència | |||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 2 | -1 |
| 3 | 2 | 4 | 3 | 1 |
| 4 | 3 | 9 | 10 | -1 |
| 5 | 5 | 25 | 24 | 1 |
| 6 | 8 | 64 | 65 | -1 |
| 7 | 13 | 169 | 168 | 1 |
| 8 | 21 | 441 | 442 | -1 |
| 9 | 34 | 1156 | 1155 | 1 |
| 10 | 55 | 3025 | 3026 | -1 |
| 11 | 89 | 7921 | 7920 | 1 |
Per això, va establir la identitat que porta el seu nom:
Demostració
[modifica]Aquesta identitat es pot demostrar per inducció,[4] però encara és més senzill demostrar-ho amb càlcul matricial,[5] si veiem que la part esquerra de la identitat no és mes que el determinant d'una matriu quadrada:[6]
![{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33c58ed530977ce60f18c7a87e3aa18c0c35bd4)
Referències
[modifica]- ↑ Petkovich, 2009, p. 30.
- ↑ Grimaldi, 2012, p. 10.
- ↑ Pirillo, 2018, p. 263.
- ↑ Koshy, 2001, p. 74.
- ↑ West, 2021, p. 60-61.
- ↑ Werman i Zeilberger, 1986, p. 109.
Bibliografia
[modifica]- Grimaldi, Ralph. Fibonacci and Catalan Numbers: An Introduction (en anglès). John Wiley & Sons, 2012. ISBN 978-0-470-63157-7.
- Koshy, Thomes. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications (en anglès). John Wiley & Sons, 2001. ISBN 0-471-39969-8.
- Petkovich, Miodrag S. Famous Puzzles of Great Mathematicians (en anglès). American Mathematical Society, 2009. ISBN 978-0-8218-4814-2.
- Pirillo, Giuseppe «A characterization of Fibonacci numbers» (en anglès). Чебышевский сборник, Vol. 2, Num. 66, 2018, pàg. 259-271. ISSN: 2226-8383.
- Spreafico, Elen Viviani Pereira; Rachidi, Mustapha «Fibonacci Fundamental System and Generalized Cassini Identity» (en anglès). The Fibonacci Quarterly, Vol. 57, Num. 2, 2019, pàg. 155-167. DOI: 10.1080/00150517.2019.12427659. ISSN: 0015-0517.
- Werman, M.; Zeilberger, D. «A bijective proof of Cassini's fibonacci identity» (en anglès). Discrete Mathematics, Vol. 58, Num. 1, 1986, pàg. 109. DOI: 10.1016/0012-365X(86)90194-9. ISSN: 0012-365X.
- West, Douglas B. Combinatorial Mathematics (en anglès). Cambridge University Press, 2021. ISBN 978-1-107-05858-3.
Enllaços externs
[modifica]- Weisstein, Eric W. «Cassini's Identity» (en anglès). MathWorld--A Wolfram Web Resource, 2024. [Consulta: 4 octubre 2024].
- Bogomolny, Alexander. «Cassini's Identity» (en anglès). Cut the Knot, 2018. [Consulta: 4 octubre 2024].