Identitat de Rothe-Hagen

En matemàtiques, la identitat de Rothe-Hagen és una identitat matemàtica vàlida per a tots els nombres complexos ($x,y,z$) excepte on els denominadors s'esvaeixen:

$\sum _{k=0}^{n}{\frac {x}{x+kz}}{x+kz \choose k}{\frac {y}{y+(n-k)z}}{y+(n-k)z \choose n-k}={\frac {x+y}{x+y+nz}}{x+y+nz \choose n}.$

És una generalització de la identitat de Vandermonde, i porta el nom d'Heinrich August Rothe i Johann Georg Hagen.

Bibliografia

• Chu, Wenchang «Elementary proofs for convolution identities of Abel and Hagen-Rothe». Electronic Journal of Combinatorics, 17, 1, 2010..
• Gould, H. W. «Some generalizations of Vandermonde's convolution». The American Mathematical Monthly, 63, 1956, p. 84–91.. Veure especialment pp. 89–91.
• Hagen, Johann G. Synopsis Der Hoeheren Mathematik, 1891. . Citat a Gould (1956).
• Ma, Xinrong «Two matrix inversions associated with the Hagen-Rothe formula, their q-analogues and applications». Journal of Combinatorial Theory, 118, 4, 2011, p. 1475–1493. DOI: 10.1016/j.jcta.2010.12.012..
• Rothe, Heinrich August. Formulae De Serierum Reversione Demonstratio Universalis Signis Localibus Combinatorio-Analyticorum Vicariis Exhibita: Dissertatio Academica, 1793. . Com es va esmentar a Gould (1956).