Integral de Böhmer

En matemàtiques, una integral de Böhmer (1939) és una integral introduïda per Böhmer (1939) generalitzant les integrals de Fresnel.

N'hi ha dues versions:

La generalitzada del cosinus:

$\operatorname {C} (x,y)=\int _{x}^{\infty }t^{y-1}\cos(t)\,dt$

La generalitzada del sinus:

$\operatorname {S} (x,y)=\int _{x}^{\infty }t^{y-1}\sin(t)\,dt$

En conseqüència, la integral habitual de Fresnel s'expressa mitjançant les integrals de Böhmer de la següent manera:

$\operatorname {S} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {S} \left({\frac {1}{2}},y^{2}\right)$

$\operatorname {C} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {C} \left({\frac {1}{2}},y^{2}\right)$

També, mitjançant la integral generalitzada de Fresnel es poden expressar el sinus de la integral i el cosinus de la integral:

$\operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {S} (x,0)$

$\operatorname {Ci} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {C} (x,0)$

Vegeu també

• Integral de Fresnel

Bibliografia

• Böhmer, Paul Eugen. Differenzengleichungen und bestimmte Integrale. (en alemany). Leipzig, K. F. Koehler Verlag, 1939.