Integral de Lebesgue-Stieltjes

En matemàtiques la integral de Lebesgue-Stieltjes generalitza la integral de Riemann-Stieltjes i la integral de Lebesgue, preservant molts dels avantatges d'aquesta última, però en un marc teòric de la mesura més general.

La integral de Lebesgue-Stieltjes, que s'anomena així en honor de Henri Leon Lebesgue i Thomas Joannes Stieltjes, també es coneix com la integral de Lebesgue-Radon o només la integral de Radon, en honor de Johann Radon, a qui es deu molta de la teoria d'aquest tema. Té aplicació en la teoria de la probabilitat, i els processos estocàstics, i en certes branques de l'anàlisi matemàtica que inclouen la teoria del potencial.

Construcció formal

Per tal de definir la integral de Lebesgue-Stieltjes, es comença per associar una mesura, μ_w, amb una funció additiva no negativa d'un interval, w(I), la qual ha de ser de variació afitada. Sia (Ω, F) un espai mesurable tal que w té suport a F, llavors es defineix

$(1)\quad \mu _{w}(E):=\inf \left\{\sum _{j}w(I_{j}):E\subseteq \Omega ,\,E\subset \bigcup _{j}I_{j}\right\},$

(l'ínfim sobre totes les successions d'intervals {I_j}). Fixeu-vos que es pot demostrar que μ_w és una mesura exterior de Lebesgue.

Tot seguit es passa a construir la integral de Lebesgue-Stieltjes d'una funció mesurable no negativa seguint un estil similar al que es fa servir per construir la integral de Lebesgue corresponent. Si (Ω, F, μ_w) és un espai mesurable, llavors es pot definir la integral de qualsevol funció esglaonada s = Σ_i a_i1_Ai (on 1_A és la funció característica de A) com

$\int s\,d\mu _{w}=\sum _{i}a_{i}\mu _{w}(A_{i}).$

Llavors, si f és una μ_w-aplicació mesurable, f:(Ω, F) → [0, +∞], es pot definir la integral de f respecte de μ_w sobre E ⊆ Ω, com

$(2)\quad \int _{E}f\,d\mu _{w}=\sup \left\{\int s\,d\mu _{w}^{E}:s<f,s\ {\mbox{simple}}\,\right\},$

on μ_w^E(•) = μ_w(E∩•) a E i 0 fora de E. (Si E = Ω, μ_w^Ω = μ_w.)

per descomptat que, sovint cal calcular la integral de funcions mesurables arbitràries (no només no negatives) f:(Ω, F) → R∪{-∞, +∞}, però (igual que en el cas de la integral de Lebesgue) aquestes integrals es construeixen a partir de dues funcions no negatives. Si g:(Ω, F) → [0, +∞] i h:(Ω, F) → [0, +∞] de forma que g = max(0,f) i h = max(-f,0), llavors és clar que f = g - h i

$\int _{E}f\,d\mu _{w}=\int _{E}g\,d\mu _{w}-\int _{E}h\,d\mu _{w}.$

Ara ja es té una teoria de la integral de Lebesgue-Stieltjes de funcions arbitràries f, respecte de mesures μ_w associades amb funcions de variació afitada additives no negatives d‘un interval. Normalment es vol tractar amb mesures associades amb funcions additives arbitràries, ara bé, suposant que v és una funció additiva de variació afitada arbitrària (és a dir, no cal que sigui no negativa) d'un interval. Sian w₁ i w₂ les variacions superior e inferior de v, respectivament. Llavors

$(3)\quad \mu _{v}(E)=\mu _{w_{1}}(E)-\mu _{-w_{2}}(E),$

On les mesures μ_w1 i μ_-w₂ es defineixen com a l'equació (1), de més amunt.

Finalment ja es té l'equipament necessari per a definir la integral de Lebesgue-Stieltjes d'una funció f arbitrària respecte d'una mesura associada amb una funció additiva arbitrària d'un interval, v, la qual ha de ser de variació afitada.

Sia g = max(0, f) i h = max(-f, 0), i sian w₁ i w₂ la variació superior i inferior de v, respectivament. Llavors si μ_v es defineix d'acord amb les equacions (1) i (3), la integral de Lebesgue-Stieltjes de f respecte de μ_v és

$\int _{E}f\,d\mu _{v}=\left(\int _{E}g\,d\mu _{w_{1}}-\int _{E}h\,d\mu _{w_{1}}\right)-\left(\int _{E}g\,d\mu _{-w_{2}}-\int _{E}h\,d\mu _{-w_{2}}\right),$

On cada una de les integrals del cantó dret d'aquesta equació es defineixen d'acord amb (2).

Integració per parts

Es diu que una funció $f$ és "regular" en un punt $a$ si els límits per la dreta i per l'esquerra $f(a+)$ i $f(a-)$ existeixen, i el valor de la funció al punt és la mitjana aritmètica,

$f(a)={\frac {1}{2}}\left(f(a-)+f(a+)\right)$,

Donades dues funcions $U$ i $V$, si a cada punt, tant $U$ com $V$ són contínues, o si tant $U$ com $V$ són regulars, llavors es compleix la fórmula d'integració per parts per a la integral de Lebesgue-Stieltjes:

$\int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-)$,

on $b>a$.

Conceptes relacionats

Integral de Lebesgue

Quan μ_v és la mesura de Lebesgue, llavors la integral de Lebesgue-Stieltjes de f és equivalent a la integral de Lebesgue de f.

Integral de Riemann-Stieltjes i la teoria de la probabilitat

Si f és una funció real d'una variable real i v és una funció real no decreixent, la integral de Lebesgue-Stieltjes és equivalent a la integral de Riemann-Stieltjes, en aquest cas sovint s'escriu

$\int _{a}^{b}f(x)\,dv(x)$

per indicar la integral de Lebesgue-Stieltjes, deixant que la mesura μ_v s'entengui de forma implícita. Això és particularment comú en teoria de la probabilitat quan v és la funció distribució de probabilitat d'una variable aleatòria real, en aquest cas

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dv(x)=\mathrm {E} [f(X)].$

(Vegeu l'article sobre la integral de Riemann-Stieltjes per a més detalls sobre com tractar amb aquests casos.)

Referències

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.

Enllaços externs

• Saks, Stanislaw (1937) Theory of the Integral.
• www.probability.net Probability and foundations tutorial.