De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Pafnuti Txebixov (1821-1894)La integral de Txebixov está donada per
Integral de Txebixov
∫
0
x
x
p
(
1
−
x
)
q
d
x
=
B
(
x
;
1
+
p
,
1
+
q
)
{\displaystyle \int _{0}^{x}x^{p}(1-x)^{q}dx=B(x;1+p,1+q)}
Pafnuti L. Txebixov (1821-1894)
on
B
(
x
;
a
,
b
)
{\displaystyle B(x;a,b)}
funció beta incompleta .
[ modifica ] Txebixov va demostrar que les integrals indefinides binòmiques de la forma:[ 1]
∫
x
m
(
a
+
b
x
n
)
p
d
x
{\displaystyle \int x^{m}(a+b\,x^{n})^{p}dx}
són funcions elementals únicament si almenys una de les expressions
p
{\displaystyle \scriptstyle p}
(
m
+
1
n
)
{\displaystyle \scriptstyle ({\frac {m+1}{n}})}
p
+
(
m
+
1
n
)
{\displaystyle \scriptstyle p+({\frac {m+1}{n}})}
número enter . En un altre cas, no poden representar-se en termes de funcions elementals.[ 2]
∫
x
3
(
1
+
2
x
2
)
−
3
2
d
x
{\displaystyle \int x^{3}(1+2x^{2})^{-{\frac {3}{2}}}dx}
p
=
−
3
2
{\displaystyle p=-{\frac {3}{2}}}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
m
=
3
{\displaystyle m=3}
m
+
1
n
=
3
+
1
2
=
2
{\displaystyle {\frac {m+1}{n}}={\frac {3+1}{2}}=2}
Llavors,
1
+
2
x
2
=
z
2
⟶
x
=
z
2
−
1
2
⟶
d
x
=
1
2
z
z
2
−
1
d
z
{\displaystyle 1+2x^{2}=z^{2}\longrightarrow x={\sqrt {\frac {z^{2}-1}{2}}}\longrightarrow dx={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}dz}
Per tant,
F
(
x
)
=
∫
(
z
2
−
1
2
)
3
2
(
z
2
)
−
3
2
z
(
z
2
−
1
)
−
1
2
d
z
=
1
4
∫
z
−
2
(
z
2
−
1
)
d
z
=
1
4
∫
(
1
−
1
z
2
)
d
z
=
1
4
(
z
+
1
z
)
+
C
=
1
4
(
1
+
2
x
2
+
1
1
+
2
x
2
)
+
C
.
{\displaystyle F(x)=\int {\bigg (}{\frac {z^{2}-1}{2}}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}(z^{2})^{-{\frac {3}{2}}}z(z^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}}}dz={\frac {1}{4}}\int z^{-2}(z^{2}-1)dz={\frac {1}{4}}\int {\biggl (}1-{\frac {1}{z^{2}}}{\biggl )}dz={\frac {1}{4}}{\biggr (}z+{\frac {1}{z}}{\biggr )}+C={\frac {1}{4}}{\biggr (}{\sqrt {1+2x^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {1+2x^{2}}}}{\biggr )}+C.}
