Interior (topologia)

En matemàtiques, específicament en topologia, l'interior d'un subconjunt S de punts d'un espai topològic X està format per tots els punts de S que no pertanyen a la frontera de S. Els punts de l'interior de S es denominen punts interiors de S.

L'interior de S és el complementari de la clausura del complementari de S. En aquest sentit, l'interior i la clausura són nocions duals.

L'exterior d'un conjunt és l'interior del complementari, o equivalentment el complementari de la clausura. Està format pels punts que no pertanyen ni al conjunt ni a la frontera. L'interior, la frontera i l'exterior d'un subconjunt formen una partició de tot l'espai en tres blocs (o menys quan un o més d'aquests són buits). L'interior i l'exterior són sempre oberts mentre que la frontera és sempre tancada. Els conjunts amb interior buit han sigut anomenats conjunts frontera.^[1]

Definicions

Punt interior

Si S és un subconjunt de l'espai euclidià, llavors x és un punt interior de S si existeix una bola oberta centrada en x que estigui continguda completament a S.

Aquesta definició es generalitza a qualsevol subconjunt S d'un espai mètric X amb mètrica d: x és un punt interior de S si existeix r > 0 tal que y pertany a S sempre que la distància d(x, y) < r.

Aquesta definició es generalitza a espais topològics canviant «bola oberta» per «conjunt obert». Sigui S un subconjunt d'un espai topològic X. Llavors, x és un punt interior de S si x pertany a un subconjunt obert de S. Equivalentment, x és un punt interior de S si existeix un entorn de x que estigui contingut a S.

Interior d'un conjunt

L'interior d'un conjunt S és el conjunt de tots els punts interiors de S. L'interior de S s'escriu int(S), Int(S) o S^o. L'interior d'un conjunt té les propietats següents.

int(S) és un subconjunt obert de S.
int(S) és la unió de tots els conjunts oberts continguts a S.
int(S) és el subconjunt obert més gran contingut a S.
Un conjunt S és obert si i només si S = int(S).
int(int(S)) = int(S) (idempotència).
Si S és un subconjunt de T, aleshores int(S) és un subconjunt de int(T).
Si A és un conjunt obert, aleshores A és subconjunt de S si i només si A és subconjunt de int(S).

De vegades es pren la segona o la tercera propietat de més amunt com a definició de l'interior topològic.

Aquestes propietats també es satisfan si es reemplacen el termes "interior", "subconjunt", "unió", "contingut a", "més gran" i "obert" per "clausura", "superconjunt", "intersecció", "que conté", "més petit" i "tancat", respectivament. Per saber-ne més, vegeu la secció Operador d'interior més avall.

Exemples

a és un punt interior de M, perquè hi ha un ε-entorn de a que és subconjunt de M.

En qualsevol espai topològic, l'interior del conjunt buit és el conjunt buit.
En qualsevol espai topològic X, si $A\subset X$ , int(A) està contingut a A.
Si X és el conjunt de nombres reals $\mathbb {R}$ amb la topologia euclidiana, llavors int([0, 1]) = (0, 1).
Si X és el conjunt $\mathbb {R}$ amb la topologia euclidiana, llavors l'interior del conjunt $\mathbb {Q}$ de nombres racionals és buit.
Si X és el pla complex $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$ , llavors int $(\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq 1\})=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}.$
En qualsevol conjunt ${\mathbb {R} }^{n}$ amb la topolgia euclidiana, l'interior de qualsevol conjunt finit és el conjunt buit. Això no és cert però en altres conjunts amb la topologia euclidiana induïda, per exemple $\mathbb {N}$ .
En qualsevol espai amb la topologia en què tots els conjunts són oberts, int(A) = A per tot conjunt A.
En qualsevol espai amb la topologia en què els únics oberts són el conjunt buit i el propi espai (anomenada topologia grollera), l'interior d'A és el conjunt buit per tot A.

L'interior de [0, 1] en el conjunt dels nombres reals

En el conjunt de nombres reals es poden utilitzar topologies diferents a l'estàndard.

Si $X=\mathbb {R}$ , on $\mathbb {R}$ té la topologia del límit inferior, llavors int([0, 1]) = [0, 1).
Si es pren a $\mathbb {R}$ la topologia en què tots els conjunts són oberts, aleshores int([0, 1]) = [0, 1] (és un cas particular de int(A) = A en topologies on tot conjunt és obert).
Si es pren a $\mathbb {R}$ la topologia en què els únics conjunts oberts són el conjunt buit i el mateix $\mathbb {R}$ , aleshores int([0, 1]) és el conjunt buit (és un cas particular de l'interior d'A és el conjunt buit per tot A en topologies grolleres).

Aquests exemples mostren que l'interior d'un conjunt depèn de la topologia de l'espai subjacent. Els dos últims exemples són per tipus concrets de topologies.

En qualsevol espai discret, com que tots els conjunts són oberts, tots els conjunts són iguals al seu interior.
En qualsevol espai indiscret X, com que els únics conjunts oberts són el conjunt buit i el mateix X, es té que int(X) = X i per qualsevol subconjunt propi A de X, int(A) és el conjunt buit.

Operador d'interior

L'operador d'interior ^o és dual a l'operador clausura ^—, en el sentit que

S^o = X \ (X \ S)^—,

i també

S^— = X \ (X \ S)^o

on X és l'espai topològic que conté S, i la barra obliqua inversa denota la diferència de conjunts.

Per tant, la teoria abstracta d'operadors de clausura i els axiomes de clausura de Kuratowski es poden traduir fàcilment al llenguatge dels operadors d'interior, canviant els conjunts pels seus complementaris.

Exterior d'un conjunt

L'exterior d'un subconjunt S d'un espai topològic X, escrit ext(S) o Ext(S), és l'interior int(X \ S) del complementari. Alternativament, pot definir-se com a X \ S^—, el complementari de la clausura de S. Moltes propietats es dedueixen directament a partir de les de l'operador d'interior, com les següents.

ext(S) és un conjunt obert que és disjunt amb S.
ext(S) és la unió de tots els conjunts oberts que són disjunts amb S.
ext(S) és el conjunt obert més gran que és disjunt amb S.
Si S és subconjunt de T, llavors ext(S) és a superconjunt de ext(T).

A diferència de l'operador d'interior, ext no és idempotent, però es compleix que:

ext(ext(S)) és un superconjunt de int(S).

Figures amb interiors disjunts

Les figures roges no són d'interior disjunt amb el triangle blau. Les figures verdes i groga són d'interior disjunt amb el triangle blau, però només la figura groga és completament disjunta del triangle blau.

Dues figures a i b són anomenades d'interior disjunt si la intersecció dels seus interiors és buida, és a dir, si els seus interiors són disjunts. Les figures amb interiors disjunts poden intersecar-se (tenir punts comuns) a la frontera.

Referències

↑ Kuratowski, Kazimierz «Sur l'Operation Ā de l'Analysis Situs». Fundamenta Mathematicae, 3, 1922, pàg. 182–199. ISSN: 0016-2736.

Vegeu també

Teorema de la corba de Jordan

Enllaços externs

Interior a PlanetMath (anglès)

Viccionari

[1] Kuratowski, Kazimierz «Sur l'Operation Ā de l'Analysis Situs». Fundamenta Mathematicae, 3, 1922, pàg. 182–199. ISSN: 0016-2736.

[1]