Interpolació polinòmica de Newton

L'interpolació polinòmica de Newton és un mètode interpolació polinòmica. Encara que només existeix un únic polinomi que interpola una sèrie de punts, hi ha diferents formes de calcular-lo. Aquest mètode és útil per a situacions que requereixen un nombre baix de punts per a interpolar, ja que a mesura que creix el nombre de punts, també ho fa el grau del polinomi.

Hi ha certs avantatges en l'ús d'aquest polinomi respecte al polinomi interpolador de Lagrange. Per exemple, si fos necessari afegir algun nou punt o nus a la funció, només caldria calcular aquest últim punt, donada la relació de recurrència existent i demostrada anteriorment.

Definició de la pendent

El primer pas per a trobar la fórmula de la interpolació és definir la pendent d'ordre $n$ de manera recursiva:

• $f_{0}(x_{i})$: terme i-èsim de la seqüència
• $f_{1}(x_{0},x_{1})={\frac {f_{0}(x_{1})-f_{0}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$
• $f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})={\frac {f_{1}(x_{1},x_{2})-f_{1}(x_{0},x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}$

En general:

$f_{i}(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i})={\frac {f_{i-1}(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i})-f_{i-1}(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{i-1})}{x_{i}-x_{0}}}$,

on $x_{i}-x_{j}$ representa la distància entre dos elements (per exemple, es pot tenir l'element en $x=3$ i $x=5$ però desconéixer el valor de la seqüència en $x=4$).

Es pot apreciar com en la definició general s'utilitza la pendent del pas anterior, $f_{i-1}(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i})$, a la qual se li resta la pendent prèvia de mateix ordre, és a dir, el subíndex dels termes es decrementa en $1$, com si es desplaçara, per a obtenir $f_{i-1}(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{i-1})$.

Cal notar també que encara que el terme inicial sempre siga $x_{0}$, aquest pot ser en realitat qualsevol altre, per exemple, es pot definir $f_{1}(x_{i-1},x_{i})$ de manera anàloga al cas mostrat anteriorment.

Definició del polinomi

Una vegada coneixem la pendent, ja és possible definir el polinomi de grau $n$ de manera també recursiva:

• $p_{0}(x)=f_{0}(x_{0})=y_{0}$. Es defineix així ja que aquest valor és l'únic que s'ajusta a la seqüència original per al primer terme.
• $p_{1}(x)=p_{0}(x)+f_{1}(x_{0},x_{1})*(x-x_{0})$.
• $p_{2}(x)=p_{1}(x)+f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})*(x-x_{0})*(x-x_{1})$.

En general:

$p_{i}(x)=p_{i-1}(x)+f_{i}(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i})\prod _{j=0}^{i-1}(x-x_{j})$

Exemples

Posem com a exemple la seqüència $f_{0}$ tal que $f_{0}(1)=6,f_{0}(2)=9,f_{0}(3)=2$ i $f_{0}(4)=5$, és a dir, són els termes $6,9,2,5$ per a $x_{0}=1$ fins a $x_{3}=4$.

S'obté les pendents d'ordre $1$ de la següent manera:

• $f_{1}(x_{0},x_{1})={\frac {f_{0}(x_{1})-f_{0}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {9-6}{2-1}}=3$
• $f_{1}(x_{1},x_{2})={\frac {f_{0}(x_{2})-f_{0}(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {2-9}{3-2}}=-7$
• $f_{1}(x_{2},x_{3})={\frac {f_{0}(x_{3})-f_{0}(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}={\frac {5-2}{4-3}}=3$

Una vegada tenim les pendents d'ordre $1$, és possible obtenir les de següent ordre:

• $f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})={\frac {f_{1}(x_{1},x_{2})-f_{1}(x_{0},x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {-7-3}{3-1}}=-5$
• $f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{1}(x_{2},x_{3})-f_{1}(x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{1}}}={\frac {3-(-7)}{4-2}}=5$

Finalment, definim la pendent d'ordre $3$:

• $f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})-f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{0}}}={\frac {5-(-5)}{4-1}}={\frac {10}{3}}$

Una vegada tenim la pendent, podem definir els successius polinomis:

• $p_{0}(x)=6$.
• $p_{1}(x)=6+3(x-1)$
• $p_{2}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)$.
• $p_{3}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)+{\frac {10}{3}}(x-1)(x-2)(x-3)$

Podem provar, per exemple, la interpolació lineal pel valor $1.5$, que resulta ser $p_{1}(1.5)=6+3(1.5-1)=7.5$. Efectivament, al ser una recta, podem veure que aquest valor és igual a $3+{\frac {3+6}{2}}=7.5$, el punt mitjà entre tots dos (més el punt inicial, $3$).