|
Aquest article tracta sobre la funció K. Si cerqueu funció-k, vegeu «Funció de Bateman».
|
En matemàtiques, la funció K, normalment escrit K(z), és una funció especial que constitueix una extensió a un domini complex de la seqüència de nombres enters hiperfactorials H(n) de Neil Sloane i Simon Plouffe,[Nota 1] així com la funció gamma és una extensió complexa de la successió dels factorials.
Formalment, la funció K es defineix com
![{\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(\Gamma (t+1))\,dt\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc6cc56f52e0df69c5f288dc0091392fc5dad978)
També es pot donar en forma tancada com
![{\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fbdf9734f7e2a7e05c26bd0bf87f4423791115)
on ζ'(z) denota la derivada de la funció zeta de Riemann, i ζ(a,z) denota la funció zeta de Hurwitz, i
![{\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right]_{s=a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc645a7a6f18750e5cb36d93e353a844b70c412)
Una altra funció, usant la funció poligamma, és [2]
![{\displaystyle K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e4c4b695a83142dd3147b8826f8d5bf339e21d)
O usant la generalització equilibrada de la funció poligamma:[3]
![{\displaystyle K(z)=Ae^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e57c91409cea65287a1f480f58342211f2b29c)
- on A és la constant de Glaisher-Kinkelin.
Més prosaicament, es pot escriure
![{\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867a0232a5114d84808ce22f2a4fd96e542103ef)
o
![{\displaystyle K(n)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e93441ad69271268c0c7265320c34eb2bb3a438)
El 2003, Benoit Cloitre va demostrar que
![{\displaystyle {\frac {1}{K(n)}}=(-1)^{n}{\mbox{det}}{\begin{vmatrix}-1&-1&-1&\cdots &-1\\{1 \over 2}&{1 \over 4}&{1 \over 8}&\cdots &{1 \over 2^{n}}\\-{1 \over 3}&-{1 \over 9}&-{1 \over 27}&\cdots &-{1 \over 3^{n}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{(-1)^{n} \over n}&{(-1)^{n} \over n^{2}}&{(-1)^{n} \over n^{3}}&\cdots &{(-1)^{n} \over n^{n}}\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68db7e7e5393e97f23d3d774b425e6eca3318479)
Relació amb la funció G-Barnes[modifica]
La funció K està estretament relacionada amb la funció gamma i amb la funció G-Barnes; per als nombres naturals n, tenim
![{\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06503f21524b9126fa9f64e18f1fce5a78551956)
També tenim
[1]
per a tot
Valors particulars[modifica]
Els primers valors de la funció són:[4]
K(0) = 1
K(1) = 1
K(2) = 4
K(3) = 108
K(4) = 27.648
K(5) = 86.400.000
K(6) = 4.031.078.400.000
K(7) = 3.319.766.398.771.200.000
K(8) = 55.696.437.941.726.556.979.200.000
K(9) = 21.577.941.222.941.856.209.168.026.828.800.000
K(10) = 215.779.412.229.418.562.091.680.268.288.000.000.000.000.000
El valor de
ve donat per
![{\displaystyle K({\tfrac {1}{2}})={\frac {A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08475e45dfe4d4c737bea5834d024a620a6ba191)
on
representa la constant de Glaisher-Kinkelin.[1]
- ↑ Per a la funció K, s'aplica
![{\displaystyle K(n+1)=H(n),\qquad n\in \mathbb {N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/304f243287d088d882e452b5cb0663d455088dfd)
on H(n) es l'hiperfactorial d'un nombre natural
, que es defineix com
[1]
Enllaços externs[modifica]