En matemàtiques, la funció poligamma d'ordre m, denotada
o
, és una funció meromorfa sobre els nombres complexos ℂ definida com la (m + 1)-èsima derivada logarítmica de la funció gamma:
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z):={\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\psi (z)={\frac {d^{m+1}}{dz^{m+1}}}\ln \Gamma (z)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{m+1}\ln \Gamma (z)\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e92509822329f5da824b56e33a2fe862b2db9c6)
Així,
és la funció digamma
, i
és la funció gamma. Són holomorfes en ℂ \ −ℕ0. En tots els enters no-positius, aquestes funcions poligamma tenen un pol d'ordre m + 1.
. De vegades
(o
) s'anomena funció trigamma.
Definició per una integral[modifica]
Quan m > 0 i Re z > 0, la funció poligamma és igual a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{(m)}(z)&=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,dt\\&=-\int _{0}^{1}{\frac {t^{z-1}}{1-t}}(\ln t)^{m}\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3fc694b32b14310af2a4228e8652d2757603e5a)
Això expressa la funció poligamma com la transformada de Laplace
. Es deriva del teorema de Bernstein sobre les funcions monòtones que, per a m > 0 i x real i no-negatiu,
és una funció completament monòtona.
Fent m = 0 a la fórmula anterior no dona una representació integral de la funció digamma. La funció digamma té una representació integral, a causa de Gauss, que és similar al m = 0 del cas anterior, però amb el terme addicional
.
-
Gràfica la funció del poligamma al llarg de l'eix real amb m = 0 (taronja), m = 1 (groc), m = 2 (verd), m = 3 (vermell) i m = 4 (blau)
Representació en el pla complex[modifica]
La representació del logaritme de la funció gamma i dels primers ordres de la funció poligamma en el pla complex és:
-
![{\displaystyle \ln \Gamma (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f3c0c0516093aa04c131e4e241f073896f9ff0)
-
![{\displaystyle \psi _{0}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b815ea0ac8b1e078d14e41eb6ac7dc05155e5365)
-
![{\displaystyle \psi _{1}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b482f10339e8d27125edcc1ab412367db38865)
-
![{\displaystyle \psi _{2}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74831cda57f9f274f198cadc4a8823cdc4018e51)
-
![{\displaystyle \psi _{3}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f771c6298de0dad72f43705eed512815c653d81)
-
![{\displaystyle \psi _{4}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f5ede809151774356ffde687975e4ce9f9ee983)
Relació de recurrència[modifica]
Satisfa la relació de recurrència
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa4f34f1f65ed8c7a299515e6082afcac8d64c9)
cosa que (considerada per un argument sencer positiu) condueix a la presentació de la suma de reciprocs de les potències dels nombres naturals:
![{\displaystyle {\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b745556e680961c36773c43b702307e888b4858a)
i
![{\displaystyle \psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7699254edf6d9ce5adf0c4fbc50d3e8ce52313)
per a tot n ∈ ℕ.
Igual que la funció log-gamma, les funcions poligamma es poden generalitzar des del domini ℕ exclusivament a nombres reals positius només per la seva relació de recurrència i per un valor de funció donat ψ(m)(1), excepte en el cas m = 0 on la condició addicional d'estricta monotonia en ℝ+ encara es necessària. Aquesta és una conseqüència trivial del teorema de Bohr-Mollerup per a la funció gamma en què també s'exigeix la convexitat estrictament logarítmica ℝ+. El cas m = 0 s'ha de tractar d'una altra manera perquè ψ(0) no és normalitzable a l'infinit (la suma dels recíprocs no convergeix).
Relació de reflexió[modifica]
![{\displaystyle (-1)^{m}\psi ^{(m)}(1-z)-\psi ^{(m)}(z)=\pi {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\cot {(\pi z)}=\pi ^{m+1}{\frac {P_{m}(\cos(\pi z))}{\sin ^{m+1}(\pi z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c484c7eead98dfe7ed732651ba1dd9c92fd322)
on Pm és alternativament un polinomi de senar o parell de grau
amb coeficients enters i coeficient principal (−1)m⌈2m − 1⌉. Aquest obeeix l'equació de la recursió
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(x)&=x\\P_{m+1}(x)&=-\left((m+1)xP_{m}(x)+\left(1-x^{2}\right)P'_{m}(x)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21684745c7600cfbb2c95899b0defa3f54b4c011)
Teorema de multiplicació[modifica]
El teorema de multiplicació dona
![{\displaystyle k^{m+1}\psi ^{(m)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\qquad m\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e588960b6b7e7608afbb9505139b858056a25ca)
i
![{\displaystyle k\psi ^{(0)}(kz)=k\log(k)+\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(0)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f855cbf63ffc16d680b9e24b7687e70456b9ea)
per a la funció digamma.
Representació en sèries[modifica]
La funció poligamma té la representació en sèries
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf121937f60b9ab849a6c3123bc7e45e8e12d2c)
que es mantè m > 0, i qualsevol z complex no és igual a un nombre enter negatiu. Aquesta representació es pot escriure de manera més compacta en termes de la funció zeta de Hurwitz
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\,\zeta (m+1,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c35dafdfeb59fb810bda184410c7d3ca85976e)
Alternativament, es pot entendre que la zeta de Hurwitz generalitza la funció poligamma a un ordre arbitrari, no-enter.
Es pot permetre una sèrie més per a les funcions poligamma. Tal com va donar Oskar Schlömilch,
![{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee49ee76b9374e55694735e508c860c7dea887d6)
Aquest és el resultat del teorema de factorització de Weierstrass. Per tant, la funció gamma ara es pot definir com:
![{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c25ebb64e19f34a1ec7cf5e82fbb62b6c481396)
Ara, el logaritme natural de la funció gamma és fàcilment representable:
![{\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\ln \left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d79600af81967943b4412e41f1d29adf31390b5)
Finalment, arribem a una representació amb sumatoris per a la funció poligamma:
![{\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b3ce047e29dd35e61251f92fd74a73adb90c61)
On δn0 és la delta de Kronecker.
També el transcendent de Lerch
![{\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{m+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa04c4f284450d3388fcf72d1cb033003559177)
es pot denotar en termes de funció poligamma
![{\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)={\frac {1}{(-2)^{m+1}m!}}\left(\psi ^{(m)}\left({\frac {z}{2}}\right)-\psi ^{(m)}\left({\frac {z+1}{2}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbad742e8242fcdfc9bca5ddaaaee5cd341e46d)
Sèries de Taylor[modifica]
La sèrie de Taylor a z = 1 és
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\zeta (m+k+1)z^{k}\qquad m\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e80228948215bdf8f339383efe8847c6cbe729)
i
![{\displaystyle \psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)z^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9084f7330160143c305a50f1935f25252d3f276a)
que convergeix per a
. Aquí, ζ és la funció zeta de Riemann. Aquesta sèrie es deriva fàcilment de la corresponent sèrie de Taylor per a la funció zeta de Hurwitz. Aquesta sèrie es pot utilitzar per obtenir un nombre de les sèries racionals zeta.
Sèrie asimptòtica[modifica]
Aquestes sèries no convergents es poden utilitzar per obtenir ràpidament un valor aproximat amb una certa precisió numèrica per a arguments grans:
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)\sim (-1)^{m+1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+m-1)!}{k!}}{\frac {B_{k}}{z^{k+m}}}\qquad m\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe492c2855b1b934c024995c67c4b638b392cf9)
i
![{\displaystyle \psi ^{(0)}(z)\sim \ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{kz^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2b88a95d2b875c3d40661c2f4ded79c2f45577)
on hem triat B1 = 1/2, és a dir, els nombres de Bernoulli del segon tipus.
La cotangent hiperbòlica satisfà la desigualtat
![{\displaystyle {\frac {t}{2}}\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}\geq 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1b4c34563419d596cd8c9e360fb63017f700df)
i això implica que la funció
![{\displaystyle {\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}-\left(t^{m-1}+{\frac {t^{m}}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c561e6102492ab30c06e83248243c51bad62a41c)
sigui no-negativa per a tot
i
. Es dedueix que la transformació de Laplace d'aquesta funció és completament monòtona. Mitjançant la representació integral anterior, arribem a la conclusió que
![{\displaystyle (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)-\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8dd3c1acf6eff4318788a05e8de189a3e8915b)
és completament monòtona. La desigualtat de convexitat
implica que
![{\displaystyle \left(t^{m-1}+t^{m}\right)-{\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f1c2858ecbb0271f84267b6ffaebcf5761302f)
és no-negativa per a tot
i
, de manera que un argument similar de transformació de Laplace produeix la completa monotonia de
![{\displaystyle \left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}\right)-(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb31e21bf474f809ed3d2ec235412d942b754a1)
Per tant, per a tot m ≥ 1 i x > 0,
![{\displaystyle {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\leq (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)\leq {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f9b805e5a3fd365b227dc1d4bd802cbdea92fd5)
Alguns valors particulars[modifica]
S'ha demostrat que:
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln {\Gamma {(z)}}={\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z+k}}-{\frac {1}{k}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7458195a6cf3bff1021e4433464abd5ea07660b)
on
és la constant d'Euler-Mascheroni. Aquesta sèrie, per a
enters positius, es redueix a una suma finita:
![{\displaystyle {\frac {\Gamma '{(m)}}{\Gamma {(m)}}}=\psi _{0}(m)=-\gamma +1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{m-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869d0591d1786ac8d184c7f2d857262f90d97f15)
Derivant membre a membre respecte a
obtenim
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01dac549bec26c262f8b19e2231091e33fb3a24f)
que per a
divergeix, mentre per
es converteix en una sèrie harmònica generalitzada d'ordre 2
![{\displaystyle \left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+k)^{2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e57dca2da2a9efe4702fc7723086557b630290a)