Llei de la gravitació universal

Il·lustració del funcionament de la llei de la gravitació universal de Newton; una massa puntual m₁ atreu una altra massa puntual m₂ amb una força F₂ que és proporcional al producte de les dues masses i inversament proporcional al quadrat de la distància (r) que hi ha entre les masses. Siguin quines siguin les masses o les distàncies, les magnituds de |F₁| i |F₂| sempre seran iguals. G és la constant de la gravitació.

La llei de la gravitació universal de Newton ens diu que la força d'atracció entre dos cossos, amb masses m₁ i m₂ respectivament, és proporcional al producte de les masses m₁ i m₂ i inversament proporcional al quadrat de la distància que separa els dos cossos. Matemàticament s'expressa com:

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}\ ,$

en què F és el mòdul de la força de la gravetat, G és la constant gravitacional, m₁ i m₂ són les masses dels dos objectes que originen la força, i d és la distància entre els dos centres de gravetat de les dues masses, que es consideren concentrades en un punt.

El valor de G en el SI, sistema internacional d'unitats és:

$G=\left(6.67430\pm 0.00015\right)\times 10^{-11}\ {\mbox{N}}{\cdot }{\mbox{m}}^{2}{\cdot }{\mbox{kg}}^{-2}=\left(6.67430\pm 0.00015\right)\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}{\cdot }{\mbox{kg}}^{-1}{\mbox{s}}^{-2}{\cdot }$

Amb la llei de la gravitació universal, Newton va aconseguir reproduir les lleis de Kepler, donant així una explicació més fonamental de les tres lleis, que fins llavors només s'havien pogut derivar de manera empírica.

Per exemple, en la superfície terrestre, on hom pot considerar que la distància al centre de la Terra és la mateixa en tots els punts (és una aproximació: la diferència de la distància mitjana del centre de la Terra a un punt del nivell del mar i al pic d'una muntanya de 1.000 metres és de menys d'un 0,02%).

$F=G{\frac {Mm}{d^{2}}}=mg\,$ on $\ g=G{\frac {M}{R^{2}}}\ .$

Aquí M és la massa de la Terra i R el seu radi mitjà. Generalment, és una bona aproximació considerar g com una constant. De fet, g és l'acceleració que els cossos experimenten en la superfície terrestre i que és la mateixa per a tots els cossos, independent de la seva massa (com es pot deduir de la derivació anterior) i que va ser demostrat empíricament per Galileo Galilei.

Problemes de la teoria de Newton

La llei de la gravitació universal de Newton era incapaç d'explicar tots els fets coneguts en la seva època. Per exemple:

• No predeia correctament l'òrbita de Mercuri. Les òrbites dels planetes al voltant del Sol segueixen una el·lipse, però només aproximadament: el punt de l'òrbita que està més a prop del Sol no sempre està al mateix lloc, sinó que lentament es mou al voltant del Sol. Això és provocat per l'atracció dels planetes entre si. Aquest fet, anomenat precessió del periheli, és predit correctament per les equacions de Newton per a tots els planetes, excepte per a Mercuri. La precessió predita era menor de la que s'havia observat molt abans de Newton. La teoria general de la relativitat sí que va ser capaç de predir el valor d'aquesta precessió.

• Si l'univers era estàtic, perquè la força de la gravetat no el col·lapsés en un punt, havia de ser infinit. Però, ja l'any 1610, Johannes Kepler va observar que si l'univers fos infinit, llavors el cel nocturn hauria d'estar completament il·luminat, sense regions fosques (és l'anomenada paradoxa d'Olbers).

Però, com observa David Christian, "totes les teories científiques tenen problemes. Però, mentre puguin contestar la majoria de qüestions plantejades, aquests problemes es poden ignorar. I els problemes que presentava la teoria de Newton van ser, en gran part, ignorats durant tot el segle XIX".