Treball virtual

El treball virtual d'un sistema és el treball resultant tant de les forces virtuals que actuen mitjançant un desplaçament real o de les forces reals que actuen mitjançant un desplaçament virtual. En aquest tema, el terme desplaçament es pot referir tant a translació com a rotació, i el terme força a una força o un moment. Quan les quantitats virtuals són variables independents llavors són anomenades arbitràries: que ho siguin és una característica essencial que permet treure importants conclusions a partir de relacions matemàtiques. Per exemple, en la relació matricial

$\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q}$,

si $\mathbf {R} ^{*}$ és un verctor arbitrari, llavors es pot concloure que $\mathbf {r} =\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q}$. D'aquesta manera, les quantitats arbitràries desapareixen dels resultats finals.

Principi del treball virtual per forces aplicades en equilibri estàtic

Es considera un sistema de partícules, i, en equilibri estàtic. La força total en cada partícula és

$\mathbf {F} _{i}^{(T)}=0$

Sumant el treball exercit per la força sobre cada partícula que actua mitjançant un desplaçament virtual arbitrari, $\delta \mathbf {r} _{i}$, del sistema porta a una expressió pel treball virtual que ha de ser zero, ja que les forces són zero:

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$.

L'equació vectorial original pot ser recuperada reconeixent que l'expressió del treball ha de funcionar per desplaçaments arbitraris virtuals. Separant les forces en forces aplicades, $\mathbf {F} _{i}$, i forces de lligadura, $\mathbf {C} _{i}$, dona

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

Si els desplaçaments virtuals arbitraris s'assumeixen que són en direccions ortogonals a les forces de lligadura, aquestes no fan treball. Aquests desplaçaments es diu que són consistents amb les forces de lligadura. Això porta a la formulació del principi del treball virtual per forces aplicades en equilibri estàtic, que postula que les forces aplicades a un sistema estàtic no fan treball virtual:

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

Això també es correspon al principi per sistemes accelerats, anomenat principi de d'Alembert, que forma la base teòrica per la mecànica lagrangiana.

Vegeu també

• Mecànica lagrangiana

Bibliografia

• Bathe, K.J. "Finite Element Procedures", Prentice Hall, 1996. ISBN 0-13-301458-4
• Charlton, T.M. Energy Principles in Theory of Structures, Oxford University Press, 1973. ISBN 0-19-714102-1
• Dym, C. L. and I. H. Shames, Solid Mechanics: A Variational Approach, McGraw-Hill, 1973.
• Greenwood, Donald T. Classical Dynamics, Dover Publications Inc., 1977, ISBN 0-486-69690-1
• Hu, H. Variational Principles of Theory of Elasticity With Applications, Taylor & Francis, 1984. ISBN 0-677-31330-6
• Langhaar, H. L. Energy Methods in Applied Mechanics, Krieger, 1989.
• Reddy, J.N. Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics, John Wiley, 2002. ISBN 0-471-17985-X
• Shames, I. H. and Dym, C. L. Energy and Finite Element Methods in Structural Mechanics, Taylor & Francis, 1995, ISBN 0-89116-942-3
• Tauchert, T.R. Energy Principles in Structural Mechanics, McGraw-Hill, 1974. ISBN 0-07-062925-0
• Washizu, K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Pr, 1982. ISBN 0-08-026723-8
• Wunderlich, W. Mechanics of Structures: Variational and Computational Methods, CRC, 2002. ISBN 0-8493-0700-7