Llista de sèries newtonianes

En matemàtiques, una sèrie newtoniana, anomenada així en honor de Isaac Newton, és una suma en una successió $a_{n}$escrit en la forma

$f(s)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-s)_{n}}{n!}}a_{n}$

on

${s \choose n}$

és el coeficient binomial i $(s)_{n}$ és el factorial ascendent. Les sèries newtonianes sovint apareixen en relacions de la forma vista en el càlcul llindar.

Llista de sèries newtonianes

El teorema del binomi generalitzat dona

$(1+z)^{s}=\sum _{n=0}^{\infty }{s \choose n}z^{n}=1+{s \choose 1}z+{s \choose 2}z^{2}+\cdots .$

Una prova d'aquesta identitat es pot obtenir mostrant que compleix l'equació diferencial

$(1+z){\frac {d(1+z)^{s}}{dz}}=s(1+z)^{s}.$

La funció digamma:

$\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}{s \choose n}.$

Els nombres de Stirling de segona espècie són donats per la suma finita

$\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}.$

Aquesta fórmula és un cas especial de la k-èsima diferència progressiva del monomi xⁿ avaluat a x = 0:

$\Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}(x+j)^{n}.$

Una identitat relacionada forma la base de la integral de Nørlund-Rice:

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{s-k}}={\frac {n!}{s(s-1)(s-2)\cdots (s-n)}}={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (s-n)}{\Gamma (s+1)}}=B(n+1,s-n)$

on $\Gamma (x)$ és la funció gamma, i $B(x,y)$ és la funció beta.

Les funcions trigonomètriques tenen identitats llindars:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n}=2^{s/2}\cos {\frac {\pi s}{4}}$

i

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n+1}=2^{s/2}\sin {\frac {\pi s}{4}}$

La naturalesa de l'umbral d'aquestes identitats és una mica més clara escrivint-les en termes de factorial descendent $(s)_{n}$Els primers termes de la sèrie sinus són

$s-{\frac {(s)_{3}}{3!}}+{\frac {(s)_{5}}{5!}}-{\frac {(s)_{7}}{7!}}+\cdots$

que es pot reconèixer com semblant a la sèrie de Taylor per a sin x, amb (s)_n en lloc de xⁿ.

En la teoria analítica de nombres és interessant la suma

$\!\sum _{k=0}B_{k}z^{k},$

on B són els nombres de Bernoulli. Utilitzant la funció generatriu es pot avaluar la seva suma de Borel com

$\sum _{k=0}B_{k}z^{k}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\frac {tz}{e^{tz}-1}}dt=\sum _{k=1}{\frac {z}{(kz+1)^{2}}}.$

La relació general dona la sèrie de Newton

$\sum _{k=0}{\frac {B_{k}(x)}{z^{k}}}{\frac {1-s \choose k}{s-1}}=z^{s-1}\zeta (s,x+z),$

on $\zeta$ és la funció zeta de Hurwitz i $B_{k}(x)$ el polinomi de Bernoulli. La sèrie no convergeix, la identitat es manté formalment.

Una altra identitat és

${\frac {1}{\Gamma (x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}\sum _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-j}}{\Gamma (a+j)}}{k \choose j},$

que convergeix en $x>a$. Això es desprèn de la forma general d'una sèrie de Newton per a nodes equidistants (quan existeix, és a dir, quan sigui convergent).

$f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).$

Referències

• Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert «Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals» (en anglès). Theoretical Computer Science, 144, 1995, pàg. 101–124.