Mètode d'Euler

En matemàtiques i ciència computacional, el mètode d'Euler és un procés numèric per a resoldre equacions diferencials ordinàries (EDOs) amb un valor inicial donat. És el cas més bàsic de mètode explícit d'integració numèrica per a equacions diferencials ordinàries.^[1] El mètode pren el nom de l'autor, Leonhard Euler.^[2]

Descripció geomètrica informal

Considerem el problema de trobar una corba desconeguda que comença en un punt donat i satisfà una equació diferencial donada. L'equació diferencial es pot interpretar com una fórmula que permet calcular el pendent de la recta tangent a qualsevol punt de la corba, a partir de la posició d'aquest punt.

La idea és que, encara que la corba és inicialment desconeguda, el seu punt inicial, que notarem per $A_{0},$ és conegut (vegeu la il·lustració superior). Llavors, a partir de l'equació diferencial, es pot calcular el pendent de la corba a $A_{0}$ , i per tant, la recta tangent en el punt inicial.

Avancem un petit pas al llarg d'aquesta recta tangent cap a un punt $A_{1}.$ Si suposem que $A_{1}$ encara es troba sobre la corba, es pot utilitzar el mateix raonament que pel punt $A_{0}$ . Després d'alguns passos, es calcula la corba poligonal $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots$ . En general, aquesta corba no divergeix gaire de la corba original desconeguda, i l'error entre totes dues corbes es pot reduir si la mida del pas és prou petita i l'interval de computació és finit.^[3]

Derivació

Volem aproximar la solució del problema de valor inicial:

$y'(t)=f(t,y(t)),\qquad \qquad y(t_{0})=y_{0},$

utilitzant els dos primers termes de la sèrie de Taylor de y, que representa l'aproximació lineal al voltant del punt (t₀,y(t₀)). Un pas del mètode d'Euler des de t_n cap a t_n+1 = t_n + h és^[4]

y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).

^[2]

El mètode d'Euler és explícit, és a dir, la solució $y_{n+1}$ és una funció explícita de $y_{i}$ per $i\leq n$ .

Encara que el mètode d'Euler integra una EDO de primer ordre, qualsevol EDO d'ordre $N$ es pot representar com una EDO de primer ordre amb més d'una variable introduint $N-1$ variables addicionals, $y'$ , $y''$ , ..., $y^{(N)}$ , i formulant $N$ equacions de primer grau amb aquestes noves variables.^[5] El mètode d'Euler es pot aplicar al vector $\mathbf {y} (t)=(y(t),y'(t),y''(t),...,y^{(N)}(t))$ per integrar el sistema d'ordre més elevat.^[3]

Error

La magnitud dels errors generats pel mètode d'Euler es pot demostrar per comparació amb una sèrie de Taylor de y.^[3] Si assumim que $f(t)$ i $y(t)$ es coneixen exactament al temps $t_{0},$ llavors el mètode d'Euler dona la solució aproximada al temps $t_{0}+h$ com:

y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hf(t_{0},y(t_{0}))=y(t_{0})+hy'(t_{0})\,\qquad \qquad

(la segona igualtat prové que y satisfà l'equació diferencial $y'=f(t,y)$ ). En comparació, la sèrie de Taylor a $h$ sobre $t_{0}$ dona:

y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hy'(t_{0})+{\frac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+O(h^{3}).

^[6]

L'error introduït pel mètode d'Euler ve donat per la diferència entre aquestes equacions:

{\frac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+O(h^{3}).

Per $h$ petita, l'error dominant per pas és proporcional a $h^{2}$ . Per resoldre el problema sobre un rang donat de $t$ , el nombre de passos necessaris és proporcional a $1/h$ , per tant s'espera que l'error total al final del temps fixat sigui proporcional a $h$ (error per pas multiplicat pel nombre de passos). Per aquesta raó, es diu que el mètode d'Euler és de primer ordre.^[2] Això fa que el mètode d'Euler sigui menys precís (per petites $h$ ) que altres tècniques d'ordres més alts com els mètodes de Runge-Kutta.

El mètode d'Euler també pot ser numèricament inestable. Aquesta limitació, juntament amb la seva lentitud en la convergència, fa que el mètode d'Euler no sigui gaire utilitzat, excepte com a exemple simple d'integració numèrica.^[7]

Referències

↑ Ascher, Uri M.; Petzold, Linda R. Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. ISBN 978-0-89871-412-8.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Butcher, John C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Nova York: John Wiley & Sons, 2003. ISBN 978-0-471-96758-3.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Atkinson, Kendall A. An Introduction to Numerical Analysis. Segona edició. Nova York: John Wiley & Sons, 1989, p. 342-346. ISBN 978-0-471-50023-0.
↑ Greenberg, Michael D. Advanced Engineering Mathematics (en anglès). 2a. Upper Saddle River, Nova Jersey: Prentice Hall, 1998, p. 293. ISBN 0-13-321431-1.
↑ Stoer, Josef; Bulirsch, Roland. Introduction to Numerical Analysis. Tercera edició. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, p. 474. ISBN 978-0-387-95452-3.
↑ Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, p. 35-36. ISBN 978-3-540-56670-0.
↑ Iserles, Arieh. A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations. Cambridge University Press, 1996, p. 7. ISBN 978-0-521-55655-2.

[1] Ascher, Uri M.; Petzold, Linda R. Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. ISBN 978-0-89871-412-8.

[Butcher-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Butcher, John C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Nova York: John Wiley & Sons, 2003. ISBN 978-0-471-96758-3.

[Atkinson-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Atkinson, Kendall A. An Introduction to Numerical Analysis. Segona edició. Nova York: John Wiley & Sons, 1989, p. 342-346. ISBN 978-0-471-50023-0.

[4] Greenberg, Michael D. Advanced Engineering Mathematics (en anglès). 2a. Upper Saddle River, Nova Jersey: Prentice Hall, 1998, p. 293. ISBN 0-13-321431-1.

[5] Stoer, Josef; Bulirsch, Roland. Introduction to Numerical Analysis. Tercera edició. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, p. 474. ISBN 978-0-387-95452-3.

[Hairer-6] Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, p. 35-36. ISBN 978-3-540-56670-0.

[7] Iserles, Arieh. A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations. Cambridge University Press, 1996, p. 7. ISBN 978-0-521-55655-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]