Mètode de Newmark

El Mètode beta de Newmark és un mètode d'integració numèrica emprat per resoldre equacions diferencials. S'utilitza en anàlisi d'element finits per modelar sistemes dinàmics.

Fent memòria de l'equació del moviment d'un cos en temps continu i en una dimensió,

$x-x(0)={\dot {x}}t+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}{\ddot {x}}t^{2}$

Emprant el teorema del valor mitjà, el mètode $\beta$ de Newmark diu que la primera derivada temporal (la velocitat a l' equació del moviment) es pot calcular de la següent manera,

${\dot {x}}_{n+1}={\dot {x}}_{n}+{\Delta }t~{\ddot {x}}_{\gamma }\,$

on $n$ i $n+1$ són dos instants de temps consecutius i $\gamma$ és la proporció entre ambdós instants de temps a la qual el valor de l'acceleració satisfà el teorema del valor mitjà. Aquest valor de l'acceleració es pot estimar com

${\ddot {x}}_{\gamma }=(1-\gamma ){\ddot {x}}_{n}+\gamma {\ddot {x}}_{n+1}~~~~0\leq \gamma \leq 1$

per tant

${\dot {x}}_{n+1}={\dot {x}}_{n}+(1-\gamma ){\Delta }t~{\ddot {x}}_{n}+\gamma {\Delta }t~{\ddot {x}}_{n+1}+error_{\gamma ,n}$

Tanmateix, com que l'acceleració varia en el temps, per tal de no perdre precisió en l'aproximació numèrica i obtenir el desplaçament correcte, cal calcular també la posició emprant el teorema del valor mitja ha d'ésser estès també a la segona derivada temporal (és a dir, les acceleracions):

${x}_{n+1}=x_{n}+{\Delta }t~{\dot {x}}_{n}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}{\Delta }t^{2}~{\ddot {x}}_{\beta }$

i l'acceleració es pot estimar com

${\ddot {x}}_{\beta }=(1-2\beta ){\ddot {x}}_{n}+2\beta {\ddot {x}}_{n+1}~~~~0\leq \beta \leq 1$

per tant

${x}_{n+1}=x_{n}+{\Delta }t~{\dot {x}}_{n}+({\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}-\beta ){\Delta }t^{2}{\ddot {x}}_{n}+\beta {\Delta }t^{2}{\ddot {x}}_{n+1}+error_{\beta ,n}$

Aquest mètode rep el nom de Nathan M. Newmark, que el va introduir 1959.

Aplicació

Les regles d'actualització de l'algorisme per a uns valors de $\beta$ i $\gamma$ donats queda

${\dot {x}}_{n+1}={\dot {x}}_{n}+(1-\gamma ){\Delta }t~{\ddot {x}}_{n}+\gamma {\Delta }t~{\ddot {x}}_{n+1}$

${x}_{n+1}=x_{n}+{\Delta }t~{\dot {x}}_{n}+({\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}-\beta ){\Delta }t^{2}{\ddot {x}}_{n}+\beta {\Delta }t^{2}{\ddot {x}}_{n+1}$

Les característiques de l'algorisme depenen dels dos paràmetres $\beta$ i $\gamma$, en particular l'estabilitat i el seu caràcter implícit o explícit. Newmark va mostrar que el valor raonable de $\gamma$ és 0.5, i normalment, encara que no sempre, s'utilitza aquest valor. Valors diferents de β entre 0 i 1 poden donar un ampli ventall de resultats. Normalment es pren β = 1/4, que resulta en el mètode d'acceleració mitjana constant.

Domini	Estabilitat
$\gamma \leq 1/2$	inestable
$1/2\leq \gamma$ i $2\beta \leq \gamma$	condicionalment estable
$1/2\leq \gamma$ i $\gamma \leq 2\beta$	incondicionalment estable

El mètode ha estat aplicat a casos particulars emprant valors adequats de $\beta$ i també $\gamma$:

Nom del mètode	$\gamma$	$\beta$	Propietats
Explícit pur	0	0	explícit. Límit d'estabilitat $\omega h=0$
Diferències centrades	$1/2$	0	explícit i condicionalment estable
Fox Goodwin	$1/2$	$1/12$	condicionalment estable
Acceleració lineal	$1/2$	$1/6$	condicionalment estable
Acceleració mitjana	$1/2$	$1/4$	incondicionalment estable

Aplicació a l'equació dinàmica

El mètode s'aplica a la simulació de sistemes mecànics que respon al sistema d'equacions diferencials

$\ M{\ddot {x}}(t)+C\ {\dot {x}}(t)+K\ x(t)=f(x,{\dot {x}},t)$

que, per a un pas de temps $\ h$ donat, es pot expressar com

$\ M^{*}{\ddot {x}}(t)=f(x,{\dot {x}},t)$

on

$\ M^{*}=M+Ch+Kh^{2}$

Cal doncs recalcular les forces per cada coordenada (o grau de llibertat) i velocitat segons l'algoritme següent emprant els paràmetres $\gamma ={1 \over 2}$ i $\beta ={1 \over 6}$

INICI

      $x_{t-h}=x_{t};{\dot {x}}_{t-h}={\dot {x}}_{t};{\ddot {x}}_{t-h}={\ddot {x}}_{t}$; {Els valors del pas anterior es converteixen en els valors antics}

      ${\ddot {x}}_{t}=0$; {Predicció de les noves acceleracions en funció dels valors antics}

      ${\dot {x}}_{t}={\dot {x}}_{t-h}+{1 \over 2}h({\ddot {x}}_{t-h})$; {Predicció de les noves velocitats en funció de les noves acceleracions}

      $x_{t}=x_{t-h}+h{\dot {x}}_{t-h}+{1 \over 2}h^{2}{\ddot {x}}_{t-h}$; {Predicció de les noves posicions en funció de les noves acceleracions}

      REPETIR

            $x_{a}=x_{t};{\dot {x}}_{a}={\dot {x}}_{t}$; {Els valors nous esdevenen valors antics}

            ${\ddot {x}}_{t}={1 \over M}f(x_{a},{\dot {x}}_{a},t)$; {Càlcul de les noves acceleracions en funció dels valors antics}

            ${\dot {x}}_{t}={\dot {x}}_{t-h}+{1 \over 2}({\ddot {x}}_{t-h}+h{\ddot {x}}_{t})$; {Càlcul de les noves velocitats en funció de les noves acceleracions}

            $x_{t}=x_{t-h}+{\dot {x}}_{t-h}h+{1 \over 3}\left({\ddot {x}}_{t-h}+{{\ddot {x}}_{t} \over 2}\right)h^{2}$; {Càlcul de les noves posicions en funció de les noves acceleracions}

      FINS QUE $|Residu|<\varepsilon$ {La nova aproximació és prou igual a l'antiga}

FINAL

El mètode de Newmark és una eina pràctica aplicable a problemes no lineals que poden arribar a ésser extremadament complexes. Convergeix raonablement quan el pas de temps és prou petit respecte les freqüències del sistema modelat. Tanmateix, a diferència del seu ús en problemes lineals, no es pot assegurar pas la seva convergència incondicional.

Vegeu també

• Mètodes de Runge-Kutta