Mètrica de Reissner–Nordström

Analogia en gelosia de la deformació de l'espai-temps causada per una massa planetària.

En física i astronomia, la mètrica de Reissner–Nordström és una solució estàtica de les equacions de camp d'Einstein–Maxwell, que correspon al camp gravitatori d'un cos carregat, no giratori i esfèricament simètric de massa M. La solució anàloga per a un cos carregat i giratori ve donada per la mètrica de Kerr-Newman.

La mètrica va ser descoberta entre 1916 i 1921 per Hans Reissner, Hermann Weyl, Gunnar Nordström i George Barker Jeffery de manera independent.

Mètrica

En coordenades esfèriques $(t,r,\theta ,\varphi )$, la mètrica de Reissner–Nordström (és a dir, l'element de línia) és

$ds^{2}$ $=c^{2}\,d\tau ^{2}$ $=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}$ $-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}$ $-~r^{2}\,d\theta ^{2}$ $-~r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2},$

on

• $c$ és la velocitat de la llum
• $\tau$ és el moment adequat
• $t$ és la coordenada del temps (mesurada per un rellotge estacionari a l'infinit).
• $r$ és la coordenada radial
• $(\theta ,\varphi )$ són els angles esfèrics
• $r_{\text{s}}$ és el radi de Schwarzschild del cos donat per $\textstyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}}$
• $r_{Q}$ és una escala de longitud característica donada per $\textstyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}$
• $\varepsilon _{0}$ és la constant elèctrica.

La massa total del cos central i la seva massa irreductible estan relacionades per

$M_{\rm {irr}}={\frac {c^{2}}{G}}{\sqrt {\frac {r_{+}^{2}}{2}}}\ \to \ M={\frac {Q^{2}}{16\pi \varepsilon _{0}GM_{\rm {irr}}}}+M_{\rm {irr}}.$

La diferència entre $M$ i $M_{\rm {irr}}$ es deu a l'equivalència de massa i energia, la qual cosa fa que l'energia del camp elèctric també contribueixi a la massa total.

En el límit que el càrrec $Q$ (o equivalentment, l'escala de longitud $r_{Q}$) va a zero, es recupera la mètrica de Schwarzschild. La teoria newtoniana clàssica de la gravetat es pot recuperar en el límit com a relació $r_{\text{s}}/r$ va a zero. En el límit que tots dos $r_{Q}/r$ i $r_{\text{s}}/r$ anar a zero, la mètrica es converteix en la mètrica de Minkowski per a la relativitat especial.

A la pràctica, la proporció $r_{\text{s}}/r$ sovint és extremadament petit. Per exemple, el radi de Schwarzschild de la Terra és aproximadament 9 mm (3/8 de polzada), mentre que un satèl·lit en una òrbita geosíncrona té un radi orbital $r$ això és aproximadament quatre mil milions de vegades més gran, amb 42.164 km (26.200 miles). Fins i tot a la superfície de la Terra, les correccions a la gravetat newtoniana són només una part de cada mil milions. La proporció només augmenta a prop dels forats negres i altres objectes ultradensos com les estrelles de neutrons.

Forats negres carregats

Encara que forats negres carregats amb r _Q ≪ r _s són similars al forat negre de Schwarzschild, tenen dos horitzons: l'horitzó d'esdeveniments i un horitzó intern de Cauchy. Igual que amb la mètrica de Schwarzschild, els horitzons d'esdeveniments de l'espai-temps es troben on el component mètric $g_{rr}$ divergeix; és a dir, on $$1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{g_{rr}}}=0.$$

Aquesta equació té dues solucions: $$r_{\pm }={\frac {1}{2}}\left(r_{\rm {s}}\pm {\sqrt {r_{\rm {s}}^{2}-4r_{\rm {Q}}^{2}}}\right).$$

Aquests horitzons d'esdeveniments concèntrics es degeneren durant 2 r _Q = r _s, que correspon a un forat negre extrem. Forats negres amb 2 r _Q > r _s no pot existir a la natura perquè si la càrrega és més gran que la massa no pot haver-hi cap horitzó d'esdeveniments físics (el terme sota l'arrel quadrada esdevé negatiu). Els objectes amb una càrrega superior a la seva massa poden existir a la natura, però no poden col·lapsar-se en un forat negre i, si poguessin, mostrarien una singularitat nua. Les teories amb supersimetria solen garantir que aquests forats negres "superextrems" no poden existir.

El potencial electromagnètic és $$A_{\alpha }=(Q/r,0,0,0).$$

Si els monopols magnètics s'inclouen a la teoria, s'obté una generalització per incloure la càrrega magnètica P substituint Q² per Q² + P² a la mètrica i incloent el terme P cos θ dφ en el potencial electromagnètic

Dilatació del temps gravitatori

La dilatació temporal gravitatòria a les proximitats del cos central ve donada per $$\gamma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}},$$ que es relaciona amb la velocitat d'escapament radial local d'una partícula neutra $$v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}.$$