Mòdul d'elasticitat

Mòdul d'elasticitat
	Exemple de gràfic allargament unitari vs. tensió. El mòdul elàstic E és el pendent de la recta de la zona elàstica (color blau) o, cosa que és el mateix, E=/.
Símbol	E
Unitats	Pascal
Derivacions a partir; d'altres quantitats	E=/
Fórmula
Anomenat en referència a	Thomas Young

El mòdul d'elasticitat, mòdul elàstic,^{[nota 1]} mòdul d'elasticitat longitudinal o mòdul de Young és la mesura de la rigidesa d'un material elàstic. Es defineix com la relació entre la tensió uniaxial i l'allargament unitari uniaxial en el rang de tensions en el qual es compleix la llei de Hooke (és a dir, abans d'arribar al límit elàstic).^[1] En mecànica del sòlid, el pendent de la corba tensió-deformació en qualsevol punt s'anomena mòdul tangent; si aquest punt es troba sobre la regió lineal de la corba, doncs, es tracta del mòdul d'elasticitat o mòdul de Young. El mòdul d'elasticitat es pot determinar experimentalment mitjançant un assaig de tracció realitzat sobre una mostra del material a estudiar. En materials anisotròpics, el mòdul d'elasticitat pot tenir diferents valors segons la direcció que s'apliqui la força respecte a l'estructura del material.

El mòdul de Young s'anomena així en honor de Thomas Young, científic britànic del segle xix. De totes maneres, el concepte fou desenvolupat el 1727 per Leonhard Euler, i els primers experiments que utilitzaren el concepte de mòdul d'elasticitat foren duts a terme pel científic italià Giordano Riccati el 1782.^[2]

Unitats

El mòdul elàstic es defineix com la proporció entre la tensió (que té unitats de pressió) i la deformació (que és adimensional); llavors, el mòdul elàstic té unitats de pressió, que en el Sistema Internacional són el pascal (Pa, N/m² o m⁻¹·kg·s⁻²). Tanmateix, per qüestions pràctiques se solen utilitzar els megapascals (MPa o N/mm²) o gigapascals (GPa o kN/mm²). En unitats de mesura dels Estats Units s'utilitza la lliura per polzada quadrada (psi) i la seva derivada ksi (equivalent a mil psi).

Aplicació

El mòdul d'elasticitat es pot fer servir, per exemple, per calcular els canvis dimensionals d'una barra de material elàstic isotròpic sota càrregues de tracció o compressió: es pot predir com s'allarga en el primer cas, o com s'escurça en el segon. També es pot fer servir per calcular la deflexió que pateix una biga estàticament determinada quan se li aplica una càrrega en un punt entre els dos suports. Tanmateix, aquests càlculs solen requerir aplicar altres conceptes i propietats dels materials com el mòdul de cisallament, la densitat o el coeficient de Poisson.

Materials lineals i no lineals

Per la majoria de materials el mòdul d'elasticitat és constant sigui quina sigui la deformació de la mostra. Aquests materials s'anomenen lineals, i obeeixen la llei de Hooke. Alguns exemples són l'acer, la fibra de carboni i el vidre. En canvi, aquells materials que no tenen un mòdul d'elasticitat constant són no lineals, com per exemple el cautxú o el sòl.

Materials direccionals

El mòdul d'elasticitat pot no ser igual en totes les orientacions d'un material. La majoria de metalls i ceràmiques, juntament amb molts altres materials, són isotròpics, i totes les seves propietats mecàniques són les mateixes en totes les orientacions. Tanmateix, els metalls i les ceràmiques es poden tractar amb certes impureses, i els metalls es poden treballar mecànicament per fer les seves estructures de gra direccionals. En aquest cas els materials esdevenen anisòtrops, i el mòdul d'elasticitat canvia depenent de la direcció del vector de força. També es pot observar anisotropia en molts compostos, com per exemple la fibra de carboni, que té un mòdul d'elasticitat molt més elevat quan la força és aplicada en paral·lel a les fibres (al llarg del gra). Altres materials similars són la fusta i el formigó armat.

Càlcul

El mòdul d'elasticitat (E) es pot calcular dividint la tensió per la deformació en la porció elàstica (lineal) de la corba tensió-deformació:

E\equiv {\frac {\mbox{tensió}}{\mbox{deformació}}}={\frac {\sigma }{\varepsilon }}={\frac {F/A_{0}}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A_{0}\Delta L}}

On:

E és el mòdul d'elasticitat

F és la força exercida sobre el cos

A₀ és l'àrea (secció) sobre la qual s'aplica la força

ΔL és la quantitat que s'allarga el cos

L₀ és la llargada original del cos

Força exercida per un material estirat o comprimit

El mòdul d'elasticitat d'un material es pot fer servir per calcular la força que exerceix sota una deformació específica.

F=-{\frac {EA_{0}\Delta L}{L_{0}}}

On F és la força exercida pel material quan és estirat o comprimit una llargada ΔL. D'aquesta fórmula se'n pot obtenir la llei de Hooke, la qual descriu la rigidesa d'una molla ideal:

F=-\left({\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\right)\Delta L=-kx\,

On

k={\begin{matrix}{\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\end{matrix}}\,

x=\Delta L.\,

Energia potencial elàstica

L'energia potencial elàstica emmagatzemada ve donada per la integral de l'expressió anterior respecte a L:

U_{e}=\int {\frac {EA_{0}\Delta L}{L_{0}}}\,d\Delta L={\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\int {\Delta L}\,d\Delta L={\frac {EA_{0}{\Delta L}^{2}}{2L_{0}}}

On U_e és l'energia potencial elàstica.

L'energia potencial elàstica per unitat de volum ve donada per:

{\frac {U_{e}}{A_{0}L_{0}}}={\frac {E{\Delta L}^{2}}{2L_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}E{\varepsilon }^{2}

, on

\varepsilon ={\frac {\Delta L}{L_{0}}}

és la deformació del material. Aquesta fórmula també es pot expressar com la integral de la llei de Hooke:

U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}

Relació entre constants elàstiques

Per materials isotròpics homogenis existeixen relacions simples entre les constants elàstiques (mòdul d'elasticitat E, mòdul de cisallament G, mòdul de compressibilitat K i coeficient de Poisson ν) que permeten calcular-les totes si se'n coneixen almenys dues.

E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu )\,

Valors aproximats

El mòdul d'elasticitat pot patir variacions a causa de diferències en la composició de la mostra i del mètode utilitzat per fer la prova. A continuació es mostren el valor aproximat del mòdul d'elasticitat per a diversos materials, ordenats del material que el té més baix al que el té més alt.

Mòdul d'elasticitat aproximat per diversos materials
Material	GPa
Cautxú (petites deformacions)	0.01–0.1^[3]
PTFE (tefló)	0,5
Polietilè de baixa densitat^[4]	0,238
Polietilè d'alta densitat	0.8
Polipropilè	1,5-2^[3]
Càpsides bacteriòfagues^[5]	1–3
Politereftalat d'etilè (PET)	2-2,7^[3]
Poliestirè	3-3,5^[3]
Niló	2–4
Frústuls de diatomea (principalment àcid silícic)^[6]	0,35–2,77
Tauler DM^[7]	4
Fusta de pi (al llarg del gra)	9
Fusta de roure (al llarg del gra)	11^[3]
Os cortical humà^[8]	14
Nanotubs pèptids aromàtics^[9]^[10]	19-27
Formigó d'alta resistència	30^[3]
Fibra de cànem^[11]	35
Magnesi (Mg)	45^[3]
Fibra de lli^[12]	58
Alumini	69^[3]
Fibra d'ortiga gran^[13]	87
Vidre (vegeu diagrama)	50–90^[3]
Aramida^[14]	70,5–112,4
Nacre (mareperla, principalment carbonat de calci)^[15]	70
Esmalt dental (principalment fosfat de calci)^[16]	83
Llautó	100–125^[3]
Bronze	96-120^[3]
Titani (Ti)	110.3^[3]
Aliatges de titani	105–120^[3]
Coure (Cu)	117
Plàstic reforçat amb fibra de vidre (70/30 per pes de fibra/xarxa, unidireccional, al llarg del gra)	40–45
Xarxa de poliestirè reforçada amb fibra de vidre^[17]	17,2
Plàstic reforçat amb fibra de carboni (50/50 fibra/xarxa, biaxial)^[18]
Plàstic reforçat amb fibra de carboni (70/30 fibra/xarxa, unidireccional, al llarg del gra)^[19]	181
Silici (cristall únic, diferents direccions)^[20]^[21]	130-185
Ferro forjat	190–210^[3]
Acer (ASTM-A36)	200^[3]
Granat de ferro itri policristal·lí (YIG)^[22]	193
Granat de ferro itri monocristal·lí (YIG)^[23]	200
Nanosferes de pèptids aromàtics^[24]	230-275
Beril·li (Be)	287
Molibdè (Mo)	329
Tungstè (W)	400–410^[3]
Safir (Al₂O₃) al llarg de l'eix C	435
Carbur de silici (SiC)	450^[3]
Osmi (Os)	550
Carbur de tungstè (wídia, WC)	450–650^[3]
Nanotub de carboni d'una sola capa^[25]^[26]	1,000+
Grafè	1000
Diamant (C)^[27]	1220

Notes

↑ Existeixen mòduls elàstics diferents, però concretament al mòdul d'elasticitat se'l sol anomenar també "mòdul elàstic" perquè és el més utilitzat (vegeu mòdul elàstic pel concepte general).

Referències

↑ IUPAC, Compendium of Chemical Terminology, 2a ed. ("The Gold Book") (1997). Versió corregida en línia: (2006–) "modulus of elasticity (Young's modulus), E" (en anglès).
↑ The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies, 1638–1788: Introduction to Leonhardi Euleri Opera Omnia, vol. X i XI, Seriei Secundae. Orell Fussli (anglès)
↑ ^3,00 ^3,01 ^3,02 ^3,03 ^3,04 ^3,05 ^3,06 ^3,07 ^3,08 ^3,09 ^3,10 ^3,11 ^3,12 ^3,13 ^3,14 ^3,15 ^3,16 ^3,17 «Elastic Properties and Young Modulus for some Materials» (en anglès). The Engineering ToolBox. [Consulta: 6 gener 2012].
↑ «Overview of materials for Low Density Polyethylene (LDPE), Molded». Matweb¡.
↑ Ivanovska IL, de Pablo PJ, Sgalari G, MacKintosh FC, Carrascosa JL, Schmidt CF, Wuite GJL «Bacteriophage capsids: Tough nanoshells with complex elastic properties». Proc Nat Acad Sci USA., 101, 20, 2004, p. 7600–5. DOI: 10.1073/pnas.0308198101.
↑ Subhash G, Yao S, Bellinger B, Gretz MR. «Investigation of mechanical properties of diatom frustules using nanoindentation». J Nanosci Nanotechnol., 5, 1, 2005, p. 50–6. DOI: 10.1166/jnn.2005.006.
↑ Material Properties Data: Medium Density Fiberboard (MDF)
↑ Rho, JY «Young's modulus of trabecular and cortical bone material: ultrasonic and microtensile measurements». Journal of Biomechanics, 26, 2, 1993, p. 111–119.
↑ Kol, N. et al. «Self-Assembled Peptide Nanotubes Are Uniquely Rigid Bioinspired Supramolecular Structures». Nano Letters, 5, 7, 08-06-2005, p. 1343–1346. DOI: 10.1021/nl0505896.
↑ Niu, L. et al. «Using the Bending Beam Model to Estimate the Elasticity of Diphenylalanine Nanotubes». Langmuir, 23, 14, 06-06-2007, p. 7443–7446. DOI: 10.1021/la7010106.
↑ Nabi Saheb, D.; Jog, JP. «Natural fibre polymer composites: a review». Advances in Polymer Technology, 18, 4, 1999, p. 351–363. DOI: 10.1002/(SICI)1098-2329(199924)18:4<351::AID-ADV6>3.0.CO;2-X.
↑ Bodros, E. «Analysis of the flax fibres tensile behaviour and analysis of the tensile stiffness increase». Composite Part A, 33, 7, 2002, p. 939–948. DOI: 10.1016/S1359-835X(02)00040-4.
↑ Bodros, E.; Baley, C. «Study of the tensile properties of stinging nettle fibres (Urtica dioica)». Materials Letters, 62, 14, 15-05-2008, p. 2143–2145. DOI: 10.1016/j.matlet.2007.11.034.
↑ DuPont. Kevlar Technical Guide, 2001, p. 9.
↑ A. P. Jackson,J. F. V. Vincent and R. M. Turner «The Mechanical Design of Nacre». Proc. R. Soc. Lond. B, 234, 1277, 1988, p. 415–440. DOI: 10.1098/rspb.1988.0056.
↑ M. Staines, W. H. Robinson and J. A. A. Hood «Spherical indentation of tooth enamel». Journal of Materials Science, 1981.^{[Enllaç no actiu]}
↑ Polyester Matrix Composite reinforced by glass fibers (Fiberglass). [SubsTech] (2008-05-17). Retrieved on 2011-03-30.
↑ «E-G-nu.htm Composites Design and Manufacture (BEng) - MATS 324».^{[Enllaç no actiu]}
↑ Epoxy Matrix Composite reinforced by 70% carbon fibers [SubsTech]. Substech.com (2006-11-06). Retrieved on 2011-03-30.
↑ Physical properties of Silicon (Si). Ioffe Institute Database.
↑ E.J. Boyd et al. «Measurement of the Anisotropy of Young's Modulus in Single-Crystal Silicon». Journal of Microelectromechanical Systems, 21, 1, 2-2012, p. 243–249. DOI: 10.1109/JMEMS.2011.2174415.
↑ Chou, H. M.; Case, E. D. «Characterization of some mechanical properties of polycrystalline yttrium iron garnet (YIG) by non-destructive methods». Journal of Materials Science Letters, 7, 11, 11-1988, p. 1217–1220. DOI: 10.1007/BF00722341.
↑ «YIG properties». Arxivat de l'original el 2009-02-25. [Consulta: 8 març 2013].
↑ Adler-Abramovich, L. et al. «Self-Assembled Organic Nanostructures with Metallic-Like Stiffness». Angewandte Chemie International Edition, 49, 51, 17-12-2010, p. 9939–9942. DOI: 10.1002/anie.201002037.
↑ L. Forro et al. «Electronic and mechanical properties of carbon nanotubes». Arxivat de l'original el 2005-10-29. [Consulta: 8 març 2013].
↑ Y.H.Yang et al.; Li, W. Z. «Radial elasticity of single-walled carbon nanotube measured by atomic force microscopy». Applied Physics Letters, 98, 4, 2011, p. 041901. DOI: 10.1063/1.3546170.
↑ Spear and Dismukes. Synthetic Diamond – Emerging CVD Science and Technology. Wiley, NY, 1994. ISBN 978-0-471-53589-8.

Enllaços externs

Matweb: base de dades amb propietats de més de 63.000 materials (en anglès)

Fórmules de conversió
Els materials elàstics lineals homogenis isotròpics tenen les seves propietats elàstiques determinades inequívocament per una parella qualsevol dels mòduls d'entre els següents; per tant, donats dos mòduls d'entre els següents, qualsevol dels altres pot ser calculat d'acord amb aquestes fórmules.
	$(\lambda ,\,G)$	$(E,\,G)$	$(K,\,\lambda )$	$(K,\,G)$	$(\lambda ,\,\nu )$	$(G,\,\nu )$	$(E,\,\nu )$	$(K,\,\nu )$	$(K,\,E)$	$(M,\,G)$
$K=\,$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$			${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$			$M-{\tfrac {4G}{3}}$
$E=\,$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$	${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$	$2G(1+\nu )\,$		$3K(1-2\nu )\,$		${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$
$\lambda =\,$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$	${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	$M-2G\,$
$G=\,$			${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$
$\nu =\,$	${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$					${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$M=\,$	$\lambda +2G\,$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$	$3K-2\lambda \,$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$	${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$

[1] Existeixen mòduls elàstics diferents, però concretament al mòdul d'elasticitat se'l sol anomenar també "mòdul elàstic" perquè és el més utilitzat (vegeu mòdul elàstic pel concepte general).

[2] IUPAC, Compendium of Chemical Terminology, 2a ed. ("The Gold Book") (1997). Versió corregida en línia: (2006–) "modulus of elasticity (Young's modulus), E" (en anglès).

[3] The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies, 1638–1788: Introduction to Leonhardi Euleri Opera Omnia, vol. X i XI, Seriei Secundae. Orell Fussli (anglès)

[etb20120106-4] 3,00 ^3,01 ^3,02 ^3,03 ^3,04 ^3,05 ^3,06 ^3,07 ^3,08 ^3,09 ^3,10 ^3,11 ^3,12 ^3,13 ^3,14 ^3,15 ^3,16 ^3,17 «Elastic Properties and Young Modulus for some Materials» (en anglès). The Engineering ToolBox. [Consulta: 6 gener 2012].

[5] «Overview of materials for Low Density Polyethylene (LDPE), Molded». Matweb¡.

[6] Ivanovska IL, de Pablo PJ, Sgalari G, MacKintosh FC, Carrascosa JL, Schmidt CF, Wuite GJL «Bacteriophage capsids: Tough nanoshells with complex elastic properties». Proc Nat Acad Sci USA., 101, 20, 2004, p. 7600–5. DOI: 10.1073/pnas.0308198101.

[7] Subhash G, Yao S, Bellinger B, Gretz MR. «Investigation of mechanical properties of diatom frustules using nanoindentation». J Nanosci Nanotechnol., 5, 1, 2005, p. 50–6. DOI: 10.1166/jnn.2005.006.

[8] Material Properties Data: Medium Density Fiberboard (MDF)

[9] Rho, JY «Young's modulus of trabecular and cortical bone material: ultrasonic and microtensile measurements». Journal of Biomechanics, 26, 2, 1993, p. 111–119.

[10] Kol, N. et al. «Self-Assembled Peptide Nanotubes Are Uniquely Rigid Bioinspired Supramolecular Structures». Nano Letters, 5, 7, 08-06-2005, p. 1343–1346. DOI: 10.1021/nl0505896.

[11] Niu, L. et al. «Using the Bending Beam Model to Estimate the Elasticity of Diphenylalanine Nanotubes». Langmuir, 23, 14, 06-06-2007, p. 7443–7446. DOI: 10.1021/la7010106.

[12] Nabi Saheb, D.; Jog, JP. «Natural fibre polymer composites: a review». Advances in Polymer Technology, 18, 4, 1999, p. 351–363. DOI: 10.1002/(SICI)1098-2329(199924)18:4<351::AID-ADV6>3.0.CO;2-X.

[13] Bodros, E. «Analysis of the flax fibres tensile behaviour and analysis of the tensile stiffness increase». Composite Part A, 33, 7, 2002, p. 939–948. DOI: 10.1016/S1359-835X(02)00040-4.

[14] Bodros, E.; Baley, C. «Study of the tensile properties of stinging nettle fibres (Urtica dioica)». Materials Letters, 62, 14, 15-05-2008, p. 2143–2145. DOI: 10.1016/j.matlet.2007.11.034.

[15] DuPont. Kevlar Technical Guide, 2001, p. 9.

[16] A. P. Jackson,J. F. V. Vincent and R. M. Turner «The Mechanical Design of Nacre». Proc. R. Soc. Lond. B, 234, 1277, 1988, p. 415–440. DOI: 10.1098/rspb.1988.0056.

[17] M. Staines, W. H. Robinson and J. A. A. Hood «Spherical indentation of tooth enamel». Journal of Materials Science, 1981.^{[Enllaç no actiu]}

[18] Polyester Matrix Composite reinforced by glass fibers (Fiberglass). [SubsTech] (2008-05-17). Retrieved on 2011-03-30.

[19] «E-G-nu.htm Composites Design and Manufacture (BEng) - MATS 324».^{[Enllaç no actiu]}

[20] Epoxy Matrix Composite reinforced by 70% carbon fibers [SubsTech]. Substech.com (2006-11-06). Retrieved on 2011-03-30.

[21] Physical properties of Silicon (Si). Ioffe Institute Database.

[22] E.J. Boyd et al. «Measurement of the Anisotropy of Young's Modulus in Single-Crystal Silicon». Journal of Microelectromechanical Systems, 21, 1, 2-2012, p. 243–249. DOI: 10.1109/JMEMS.2011.2174415.

[23] Chou, H. M.; Case, E. D. «Characterization of some mechanical properties of polycrystalline yttrium iron garnet (YIG) by non-destructive methods». Journal of Materials Science Letters, 7, 11, 11-1988, p. 1217–1220. DOI: 10.1007/BF00722341.

[24] «YIG properties». Arxivat de l'original el 2009-02-25. [Consulta: 8 març 2013].

[25] Adler-Abramovich, L. et al. «Self-Assembled Organic Nanostructures with Metallic-Like Stiffness». Angewandte Chemie International Edition, 49, 51, 17-12-2010, p. 9939–9942. DOI: 10.1002/anie.201002037.

[26] L. Forro et al. «Electronic and mechanical properties of carbon nanotubes». Arxivat de l'original el 2005-10-29. [Consulta: 8 març 2013].

[27] Y.H.Yang et al.; Li, W. Z. «Radial elasticity of single-walled carbon nanotube measured by atomic force microscopy». Applied Physics Letters, 98, 4, 2011, p. 041901. DOI: 10.1063/1.3546170.

[28] Spear and Dismukes. Synthetic Diamond – Emerging CVD Science and Technology. Wiley, NY, 1994. ISBN 978-0-471-53589-8.

[nota 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]