Mòdul lliure

Si a l'estructura d'espai vectorial hom substitueix el cos d'escalars per un anell, l'estructura obtinguda és la de mòdul. Naturalment, moltes de les propietats es perden en aquest canvi i l'estructura de mòdul lliure és la que més s'acosta a la d'espai vectorial. Resulta significatiu que, per definir-la, només calgui reproduir el fet que qualsevol homomorfisme d'espais vectorials queda determinat quan se'n coneixen les imatges dels elements d'una base.

Posem això en una notació adequada: si $M\,$ i $N\,$ són espais vectorials i ${\mathcal {B}}$ és una base de $M$, una aplicació $j:{\mathcal {B}}\longrightarrow N\,$ informa quant a quina és la imatge de cada element de la base ${\mathcal {B}}$ de $M$ i només d'això. Però aleshores, ha quedat perfectament determinat un homomorfisme $f:M\longrightarrow N\,$ de manera que si $i:{\mathcal {B}}\longrightarrow M\,$ és la injecció natural, el següent diagrama

és commutatiu. La definició del $A$-mòdul lliure sobre el conjunt de generadors explota aquest fet exhaustivament.

Definició

Siguin $A$ un anell commutatiu amb unitat i $S$ un conjunt. El $A$-mòdul lliure sobre el conjunt de generadors $S$, denotat $F_{S}$, és l'únic $A$-mòdul proveït d'una aplicació $i:S\longrightarrow F_{S}$ que compleix que, per qualsevol altre $A$-mòdul $M$ i qualsevol aplicació $f:S\longrightarrow M$, hi ha un únic homomorfisme de mòduls, ${\tilde {f}}:F_{S}\longrightarrow M$ que fa que el següent diagrama

sigui commutatiu, això és, que $f={\tilde {f}}\circ i\,$.

Unicitat

Comencem per veure que, si $h:F_{S}\longrightarrow F_{S}\,$ és un homomorfisme de mòduls que fa $h\circ i=i\,$, aleshores $h$ és la identitat. En efecte, en el diagrama de la dreta

la commutativitat és òbvia i la unicitat establerta per la definició per a ${\tilde {i}}=h\,$ del diagrama de l'esquerra obliga que ${\tilde {i}}=h={\mbox{Id}}_{F_{S}}\,$.

Sigui ara $\left(F'_{S},i'\right)\,$ un altre mòdul lliure sobre el conjunt de generadors $S$. Tenim els següents diagrames commutatius:

o sigui,

$i'={\tilde {i'}}\circ i\,,\qquad i={\tilde {i}}\circ i'\,$

que, per substitució, dona

$i'={\tilde {i'}}\circ {\tilde {i}}\circ i'=({\tilde {i'}}\circ {\tilde {i}})\circ i'\,,\qquad i={\tilde {i}}\circ {\tilde {i'}}\circ i=({\tilde {i}}\circ {\tilde {i'}})\circ i\,$

Ara bé, segons l'observació inicial, ha de ser

${\tilde {i'}}\circ {\tilde {i}}={\mbox{Id}}_{F'_{S}}\,,\qquad {\tilde {i}}\circ {\tilde {i'}}={\mbox{Id}}_{F_{S}}\,$

i, per tant, ${\tilde {i}}$ i ${\tilde {i'}}$ són inverses l'una de l'altra i, en conseqüència, els dos mòduls lliures, $F_{S}$ i $F'_{S}$ són isomorfs. A més, per la condició d'unicitat, no hi ha cap altre isomorfisme que respecti les aplicacions $i$ i $i'$: tenim, doncs, que aquest isomorfisme és únic.

Generadors. Bases

El conjunt $i(S)\,$ genera el mòdul lliure $F_{S}$, això és, qualsevol submòdul $M\subset F_{S}\,$ que contingui $i(S)\,$ és exactament igual a $F_{S}$. A més, el conjunt $i(S)\,$ és lliure, és a dir, els seus elements són linealment independents.

Per veure-ho, considerem les aplicacions

${\begin{matrix}f:S\longrightarrow F_{S}/M&\\f(s)=0\,,&\forall s\in S\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}\zeta :F_{S}\longrightarrow F_{S}/M&\\\zeta (\varphi )=0\,,&\forall \varphi \in F_{S}\end{matrix}}\,$

i la projecció canònica $\pi :F_{S}\longrightarrow F_{S}/M\,$. Aleshores, els dos diagrames

són òbviament commutatius i, de la unicitat, en resulta $\pi =\zeta \,$, és a dir, que la projecció canònica és nul·la i, per tant, que $M=F_{S}\,$.

La independència lineal dels elements de $i(S)\,$ es pot establir així: per a un element determinat $s_{0}\in S\,$, considerem l'aplicació

$f:S\longrightarrow A\,$

$f(s)={\begin{cases}0\,,{\mbox{ si }}s\neq s_{0}\\1\,,{\mbox{ si }}s=s_{0}\\\end{cases}}\,$

En considerar l'anell $A\,$ com a $A$-mòdul, hi ha el morfisme induït al mòdul lliure ${\tilde {f}}:F_{S}\longrightarrow A\,$ que fa $f={\tilde {f}}\circ i\,$. Prenem ara qualsevol suma finita

$\sum _{s\in S}a_{s}i(s)=0$

Tenim:

$0={\tilde {f}}(0)={\tilde {f}}\left(\sum _{s\in S}a_{s}i(s)\right)=\sum _{s\in S}a_{s}{\tilde {f}}\left(i(s)\right)=\sum _{s\in S}a_{s}f(s)=a_{s_{0}}f\left(s_{0}\right)=a_{s_{0}}$

i, com que això s'esdevé per qualsevol índex $s_{0}\in S\,$, resulta que $a_{s}=0\,,\forall s\in S$ i la independència lineal queda demostrada. Aleshores, $i(S)\,$ és una base del mòdul lliure $F_{S}$.

Inversament, tot $A$-mòdul $M\,$ proveït d'una base ${\mathcal {B}}\,$, és a dir, d'un conjunt de generadors lliure, és un mòdul lliure sobre aquest conjunt de generadors. En efecte, primer definim l'aplicació

$i:{\mathcal {B}}\longrightarrow M$

$i(b)=b$

i ara, si $N\,$ és un altre $A$-mòdul i $f:{\mathcal {B}}\longrightarrow N\,$ és una aplicació qualsevol de ${\mathcal {B}}$ a $N$, l'aplicació

${\tilde {f}}:M\longrightarrow M$

${\tilde {f}}(\varphi )={\tilde {f}}\left(\sum _{b\in {\mathcal {B}}}a_{b}b\right)=\sum _{b\in {\mathcal {B}}}a_{b}f(b)$

és, trivialment, un homomorfisme de $M\,$ a $N\,$ i el següent diagrama

és commutatiu.

En particular, si l'anell $A$ és un cos, aleshores $M$ és un espai vectorial sobre $A$ i, com a tal, té almenys una base. En conseqüència, tots els espais vectorials són lliures sobre cadascuna de les seves bases.

En realitat, allò que descriu aquest apartat és que un homomorfisme entre $A$-mòduls, el domini del qual és lliure, queda determinat per les imatges dels elements d'una base qualsevol del domini.

A-mòduls lliures de generació finita

Si $S\,$ és un conjunt finit, el $A$-mòdul lliure $F_{S}\,$ es diu de generació finita o finitament generat. Hom pot considerar, sense inconvenient, substituir el conjunt $S$, de $n$ elements, pel conjunt finit

$\left\{1,2,\ldots ,n\right\}\,$

Aleshores, $F_{S}\,$ se sol denotar per $A^{n}\,$, tot expressant que el mòdul lliure sobre el conjunt $\left\{1,2,\ldots ,n\right\}$ no és altra cosa que el producte directe de $n\,$ exemplars de l'anell $A\,$, els elements en són $n$-tuples d'elements de l'anell, amb la suma de $n$-tuples i la multiplicació per elements de l'anell en la forma usual.

Matrius

Si $A^{n}\,$ és l'$A$-mòdul lliure amb generadors $\left\{1,2,\ldots ,n\right\}$, i $A^{m}\,$ és un altre mòdul lliure, una aplicació $f:\left\{1,2,\ldots ,n\right\}\longrightarrow A^{m}$ determina un únic homomorfisme ${\tilde {f}}:A^{n}\longrightarrow A^{m}\,$ entre ambdós mòduls. La descripció de l'aplicació $f\,$ se sol fer mitjançant una matriu de $m\,$ files i $n\,$ columnes,

${\begin{pmatrix}a_{i,j}\end{pmatrix}}\,,\quad i=1,\ldots ,m\,,\quad j=1,\ldots ,n\,$

d'elements de l'anell $A$ de manera que la columna $j$ conté l'expressió de $f(j)\in A^{m}$ en alguna base d'aquest últim mòdul. La matriu, doncs, determina l'homomorfime ${\tilde {f}}\,$ de manera unívoca.

En conseqüència, l'àlgebra de les matrius $m\times n\,$ d'elements de l'anell $A$ és isomorfa a l'àlgebra dels homomorfismes de $A^{n}$ a $A^{m}$.

Existència

Construirem ara efectivament el $A$-mòdul lliure sobre un conjunt de generadors $S$. El conjunt $F_{s}$ és el conjunt de totes les funcions $\varphi :S\longrightarrow A\,$ que prenen el valor $0\in A\,$ excepte en un nombre finit d'elements de $S$. Clarament, les operacions

$\left(\varphi +\psi \right)(s)=\varphi (s)+\psi (s)\,,\qquad \left(a\varphi \right)(s)=a\left(\varphi (s)\right)\,,\qquad \varphi ,\psi \in F_{S}\,,\quad s\in S\,,\quad a\in A\,$

fan de $F_{s}$ un $A$-mòdul.

Però l'aplicació $i:S\longrightarrow F_{S}$ definida per

$i(s)(t)={\begin{cases}0\,,{\mbox{ si }}s\neq t\\1\,,{\mbox{ si }}s=t\\\end{cases}}\qquad s,t\in S\,$

fa de $F_{s}$ el $A$-mòdul lliure sobre un conjunt de generadors $S$. En efecte, sigui $f:S\longrightarrow M\,$ una aplicació del conjunt $S\,$ sobre un cert $A$-mòdul $M\,$. L'aplicació

${\tilde {f}}:F_{S}\longrightarrow M\,$

${\tilde {f}}(\varphi )=\sum _{s\in S}\varphi (s)f(s)$

és un morfisme d'$A$-mòduls perquè

${\tilde {f}}(\varphi +\psi )=\sum _{s\in S}\left(\varphi +\psi \right)(s)f(s)=\sum _{s\in S}\left(\varphi (s)+\psi (s)\right)f(s)=\sum _{s\in S}\varphi (s)f(s)+\sum _{s\in S}\psi (s)f(s)={\tilde {f}}(\varphi )+{\tilde {f}}(\psi )$

${\tilde {f}}(a\varphi )=\sum _{s\in S}\left(a\varphi (s)\right)f(s)=\sum _{s\in S}a\varphi (s)f(s)=a\sum _{s\in S}\varphi (s)f(s)=a{\tilde {f}}(\varphi )$

i, si ${\tilde {f'}}:F_{S}\longleftrightarrow M\,$ és un altre morfisme que fa ${\tilde {f'}}\circ i=f\,$, aleshores, per a $\varphi \in F_{S}\,$, com que $i(S)\,$ genera $F_{S}$,

$\varphi =\sum _{s\in S}a_{s}i(s)$

i

${\tilde {f'}}\left(\varphi \right)={\tilde {f'}}\left(\sum _{s\in S}a_{s}i(s)\right)=\sum _{s\in S}a_{s}{\tilde {f'}}(i(s))=\sum _{s\in S}a_{s}f(s)=\sum _{s\in S}a_{s}{\tilde {f}}(i(s))={\tilde {f}}\left(\sum _{s\in S}a_{s}i(s)\right)={\tilde {f}}\left(\varphi \right)$

i, per tant, ${\tilde {f'}}={\tilde {f}}\,$. En conseqüència, el $A$-mòdul $F_{S}\,$ així construït és el $A$-mòdul lliure generat pel conjunt $S$.

Referències

• Garrett, Paul (2005). Free modules, PIDs, finitely-generated modules over PIDs (postscript)
• PlanetMath: free module
• PlanetMath: free vector space over a set